¿Por qué es contradictorio?

Question

Deje $P$ $Q$ funciones de $r$ $r$ ser una función de la $(x,y,z)$. También vamos a $f$ ser una función de la $(x,y)$.

Si: $$P(x,y,z) + f (x,y)= Q(x,y,z) \tag{1} $$ Por $(1)$ $$\dfrac{\partial P}{\partial x} \neq \dfrac{\partial Q}{\partial x} \Rightarrow \dfrac{dP}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x} \neq \dfrac{dQ}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x}\Rightarrow \dfrac{dP}{dr} \neq \dfrac{dQ}{dr} \etiqueta{2} $$ También por $(1)$ $$\dfrac{\partial P}{\partial z} = \dfrac{\partial Q}{\partial z}\Rightarrow \dfrac{dP}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial z} = \dfrac{dQ}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial z} \Rightarrow \dfrac{dP}{dr} = \dfrac{dQ}{dr} \etiqueta{3}$$

$(2)$ $(3)$ contradicen. ¿Por qué es esto así?

Answer 1

Dices que: $\qquad P(r(x,y,z))+f(x,y)=Q(r(x,y,z))$

Es decir: $\quad f(x,y)=[Q-P]\circ r(x,y,z)$

Por lo tanto $\qquad\quad~~ 0~{= \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}\=\left[\dfrac{\mathsf d Q-P}{\mathsf dr\qquad\qquad}\right]!!(x,y,z)\cdot\dfrac{\partial r(x,y,z)}{\partial z\qquad\quad}}$

Lo $\dfrac{\mathsf d Q-P}{\mathsf dr\qquad\qquad}=0$ o $\dfrac{\partial r(x,y,z)}{\partial z\qquad\quad} =0$

En el primer caso, $f(x,y)$ debe ser una constante, y en el segundo es invariante con respecto a los $r$ $z$.   En cualquier caso, no hay ninguna contradicción.

Si $f(x,y)$ es constante, entonces $\dfrac{\partial P}{\partial x}+0=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$.

Si $\dfrac{\partial r(x,y,z)}{\partial z\qquad\quad}=0$ y $\dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial Q}{\partial z}=0$.

Answer 2

Si $$P(r(x,y,z)) + f(x,y)= Q(r(x,y,z)) \tag{1}$ $ y $$\dfrac{d P(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{d Q(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial x} \tag{2}$$ y $$\dfrac{d P(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial z}=\dfrac{d Q(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial z} \tag{3}.$ $ % en mi opinión (2) no está en contradicción con (3): Si $\dfrac{\partial r}{\partial z}\not=0$ luego, de (3), $\dfrac{d P(r)}{d r}=\dfrac{d Q(r)}{d r}$ y, por (2), se deduce que $\dfrac{\partial f}{\partial x}=0$. En el mismo % de forma $\dfrac{\partial f}{\partial y}=0$. La diferencia de $P(r)-Q(r)=f$ podría ser idénticamente constante.