Determinante de la transpuesta de un operador.

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $F$ de los característicos $0$. Un operador lineal $T$ $V$ induce un operador lineal $\Lambda^k T:\Lambda^k V\to \Lambda^k V$ tal que $\Lambda^k T(v_1\wedge \cdots\wedge v_k)=Tv_1\wedge\cdots\wedge Tv_k$ todos los $v_1, \ldots, v_k\in V$.

Si $n=\dim V$, entonces a partir de la $\dim(\Lambda^n V)=1$, sabemos que hay un único, $c\in F$ tal que $\Lambda^n T(v_1 \wedge \cdots\wedge v_n)=c\cdot(v_1\wedge \cdots\wedge v_n)$. Llamamos a esta constante, el determinante de a $T$.

A partir de esta definición del determinante, se sigue inmediatamente que $\det(TS)=(\det T)(\det S)$ para todos los operadores lineales $S$$T$$V$.

¿Se puede demostrar fácilmente que el $\det T^t=\det T$ todos los $T\in \mathcal L(V)$?

Aquí $T^t$ denota la transpuesta de a $T$.

Answer 1

Supongo que por transoposition significa doble asignación $T^$. Es decir si $T:V\rightarrow V$ entonces $T^:V^\rightarrow V^$ en la siguiente forma $$\leftT^*\alpha\right:=\alpha(T(v)).$ $ $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in V^*.$arreglo arbitrario $v_1,\dots,v_n\in V.$ luego

$$\left[\bigwedge^n T^(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)\right](v_1\wedge\dots\wedge v_n)=(T^\alpha_1\wedge\dots\wedge T^\alpha_n)(v_1\wedge\dots\wedge v_n)=\=\det(\left[T^\alpha_i\right](v_j))=\det(\alpha_i(T(v_j)))=\=(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)(T(v_1)\wedge\dots\wedge T(v_n))=(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)(\bigwedge^nT(v_1\wedge\dots\wedge v_n))=\=(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)(\det T\cdot v_1\wedge\dots\wedge v_n)=\det T\cdot(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)(v_1\wedge\dots\wedge v_n).$ $ Ya $v_1,\dots,v_n $ arbitrario obtenemos que $$\bigwedge^n T^(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)=\det T\cdot(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n).$ $ por lo tanto, $\det T$ es determinante de $T^,$, es decir, $\det T=\det T^*.$

---

Editar

Darij grinberg hace un buen punto que no sabemos por qué podemos evaluar $$\left[\bigwedge^n T^(\alpha_1\wedge\dots\wedge\alpha_n)\right](v_1\wedge\dots\wedge v_n).$ $ lo podemos hacer debido a la identificación canónico de $\bigwedge^n T^$ y $(\bigwedge^n T)^*.$