Para todos los $ a, b \text{ and } c \in \mathbb{R}$ y $a>1$, prueban que $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$
Me he encontrado con esta pregunta y su me molesta. Su una propiedad básica que aprendemos en HS y estaba esperando alguien me puede aclarar
Respuestas
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En la manera de hacer esto es definir $a^x$ real $x$ usando la menor cota superior de la propiedad de los números reales.
$$ a^x = \text{ l.u.b of } \lbrace a^t \mid t\leq x, t\in \mathbb{Q} \rbrace $$
Esto significa que consideramos que los valores de todos los poderes racionales que son menos de $x$ y definir el resultado de elevar a la $x$ de la potencia como el menor número real mayor que o igual a la de los elementos de este conjunto.
Para demostrar que el producto de la regla, a continuación, lo primero que se puede mirar en el sentido de $a^xa^y$ al $x,y\in \mathbb{R}$. Considere el siguiente conjunto de
$$ B=\lbrace a^r a^t \mid r \leq x, t\leq y, r \in \mathbb{Q}, t \in \mathbb{Q} \rbrace $$
Podemos concluir lo siguiente,
$$ a^r \leq a^x \text{ by the definition of } a^x.$$ $$ a^t \leq a^y \text{ by the definition of } a^y.$$ $$ \text{ Therefore } a^r a^t \leq a^x a^y$$
Voy a dejar la prueba de que $a^xa^y$ es el l.u.b de $B$ para el lector reflexivo.
Ahora podemos ver el $a^{x+y}$, esto es, por definición,
$$ a^{x+y} = \text{ l.u.b of } \lbrace a^{r+t} \mid r \leq x, t\leq y, r \in \mathbb{Q}, t \in \mathbb{Q} \rbrace. $$
Usando nuestro conocimiento de la alimentación de la regla de número racional (que es diferente de la prueba) notemos que esta nueva serie es en realidad $B$. Por lo tanto, $a^{x+y}$ es sólo el l.u.b de $B$. Un conjunto no puede tener dos niveles de menos de límites superiores, por tanto,$a^{x+y}=a^xa^y$.
Observe que no hay ninguna necesidad de recurrir a la función exponencial (que es mucho más fácil) para establecer la existencia y propiedades de los poderes reales. Todo que es necesario es la definición de la propiedad de los números reales que las distingue de los racionales (la menor cota superior de la propiedad).
Para los poderes racionales tenemos que tomar un enfoque diferente. Primero se definen poderes racionales uso de $n$th raíces. Si $m,n \in \mathbb{Z}$, a continuación, definir,
$$ a^{m/n} \equiv \sqrt[n]{a^m} .$$
Ahora supongamos que multiplicar dos expresiones con diferentes poderes racionales,
$$ a^{m/n} a^{p/q} = \sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p} .$$
Vamos a la etiqueta en el lado izquierdo con la variable $K$ que nos da,
$$ K = \sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p} .$$
Tomando el $n\cdot q$ de la potencia de ambos lados (recuerden $n$ $q$ son enteros así que esto está bien definido),
$$ K^{nq} = \left(\sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p}\right)^{nq}$$
$$ K^{nq} = \left(\sqrt[n]{a^m} \right)^{nq} \left( \sqrt[q]{a^p}\right)^{nq}$$
$$ K^{nq} = \left[ \left( \sqrt[n]{a^m} \right)^n\right]^{q} \left[ \left(\sqrt[q]{a^p} \right)^q \right]^{n}$$
$$ K^{nq} = \left(a^m \right)^{q} \left( a^p\right)^{n}$$
$$ K^{nq} = a^{mq} a^{pn} $$
$$ K^{nq} = a^{mq+pn} $$
Tome nota de que en cada paso arriba, yo sólo utiliza las reglas de los exponentes de números enteros o de la definición de $n$'th raíces.
Ahora vamos a eliminar el poder de $K$ el uso de los radicales.
$$ K = \sqrt[nq]{a^{mq+pn}} $$
Recordando la definición de los poderes racionales podemos reescribir el lado derecho como,
$$ K = a^{\frac{mq+pn}{nq}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$$
La sustitución de $K$ con su valor tenemos,
$$a^{m/n} a^{p/q} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$$
y por ello hemos establecido la regla del producto para exponentes.
Oli
Puntos
89
Damos un argumento formal. No sea totalmente fácil.
Supongamos que hemos definido la función exponencial $\exp(t)=e^t$ en una de las muchas maneras que se puede hacer, y ha demostrado que su derivada es $e^t$. Definimos $a^x$$\exp(x\ln a)$.
Por simplicidad, escribir $k$ en lugar de $\ln a$. Queremos demostrar que $\exp(ku)\exp(kv)=\exp(k(u+v)) $.
Mantenga $u$ fijo, y vamos a $$f(v)=\frac{\exp(k(u+v))}{\exp(kv)}.\tag{1}$$ Diferenciar con respecto a $v$. Se obtiene haciendo el Cociente entre la Norma y la Regla de la Cadena que $f'(v)=0$. (Si necesita detalles aquí, que puede ser suministrado).
Por lo $f(v)$ es una función constante. Que constante?
Set $v=0$. Nos encontramos con que nuestra constante es $\exp(ku)$. Ahora (1) nos da el resultado.
