Demuestra la ley del exponente $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ para todo $ a, b \text{ y } c \in \mathbb{R}$ y $a>1$

Question

Para todo $ a, b \text{ y } c \in \mathbb{R}$ y $a>1$, Demuestra que $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$

Me encontré con esta pregunta y me está molestando. Es una propiedad básica que aprendemos en la escuela secundaria y esperaba que alguien pudiera iluminarme

Answer 1

Una forma de hacer esto es definir $a^x$ para $x$ real usando la propiedad de cota superior mínima de los números reales.

$$ a^x = \text{ l.u.b de } \lbrace a^t \mid t< x, t\in \mathbb{Q} \rbrace $$

Esto significa que consideramos los valores de todas las potencias racionales que son menores que $x$ y definimos el resultado de elevar a la potencia $x$ como el número real más pequeño que es mayor o igual a los elementos de este conjunto.

Para demostrar la regla del producto entonces podemos primero ver el significado de $a^xa^y$ cuando $x,y\in \mathbb{R}$. Consideremos el siguiente conjunto,

$$ B= \lbrace a^r a^t \mid r < x, t < y, r \in \mathbb{Q}, t \in \mathbb{Q} \rbrace $$

Podemos concluir lo siguiente,

$$ a^r < a^x \text{ por la definición de } a^x.$$ $$ a^t < a^y \text{ por la definición de } a^y.$$ $$ \text{ Por lo tanto } a^r a^t < a^x a^y$$

Voy a dejar la prueba de que $a^xa^y$ es la l.u.b de $B$ al lector reflexivo.

Ahora podemos ver $a^{x+y}$, que es por definición

$$ a^{x+y} = \text{l.u.b de } \lbrace a^s \mid s < x+ y, s \in \mathbb{Q} \rbrace = \text{ l.u.b de } \lbrace a^{r+t} \mid r < x, t < y, r \in \mathbb{Q}, t \in \mathbb{Q} \rbrace. $$

Usando nuestro conocimiento de la regla de potencias para números racionales (que es una prueba diferente) notamos que este nuevo conjunto es realmente solo $B$. Por lo tanto, $a^{x+y}$ es simplemente la l.u.b de $B$. Un conjunto no puede tener dos cotas superiores mínimas distintas, por lo tanto $a^{x+y}=a^xa^y$.

Observa que no es necesario recurrir a la función exponencial (que es mucho más fácil) para establecer la existencia y propiedades de las potencias reales. Todo lo que es necesario es la propiedad definitoria de los números reales que los distingue de los racionales (la propiedad de cota superior mínima).

Para potencias racionales tenemos que seguir un enfoque diferente. Primero definimos potencias racionales usando raíces $n$-ésimas. Si $m,n \in \mathbb{Z}$ entonces definimos,

$$ a^{m/n} \equiv \sqrt[n]{a^m} .$$

Ahora supongamos que multiplicamos dos expresiones con potencias racionales diferentes,

$$ a^{m/n} a^{p/q} = \sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p} .$$

Etiquetaremos el lado izquierdo con la variable $K$ lo que nos da,

$$ K = \sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p} .$$

Tomando la potencia $n\cdot q$ de ambos lados (recuerda que $n$ y $q$ son enteros por lo que esto está bien definido) obtenemos,

$$ K^{nq} = \left(\sqrt[n]{a^m} \sqrt[q]{a^p}\right)^{nq}$$

$$ K^{nq} = \left(\sqrt[n]{a^m} \right)^{nq} \left( \sqrt[q]{a^p}\right)^{nq}$$

$$ K^{nq} = \left[ \left( \sqrt[n]{a^m} \right)^n\right]^{q} \left[ \left(\sqrt[q]{a^p} \right)^q \right]^{n}$$

$$ K^{nq} = \left(a^m \right)^{q} \left( a^p\right)^{n}$$

$$ K^{nq} = a^{mq} a^{pn} $$

$$ K^{nq} = a^{mq+pn} $$

Observa que en cada paso anterior solo usé las reglas de exponentes para enteros o la definición de raíces $n$-ésimas.

Ahora eliminaremos la potencia de $K$ usando radicales.

$$ K = \sqrt[nq]{a^{mq+pn}} $$

Recordando la definición de potencias racionales reescribimos el lado derecho como,

$$ K = a^{\frac{mq+pn}{nq}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$$

Reemplazando $K$ con su valor tenemos,

$$a^{m/n} a^{p/q} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$$

y por lo tanto hemos establecido la regla del producto para exponentes.

Answer 2

Damos un argumento formal. No será del todo fácil.

Supongamos que hemos definido la función exponencial $\exp(t)=e^t$ de una de las muchas formas en que se puede hacer, y hemos demostrado que su derivada es $e^t$. Definimos $a^x$ como $\exp(x\ln a)$.

Para simplificar, escribimos $k$ en lugar de $\ln a$. Queremos demostrar que $\exp(ku)\exp(kv)=\exp(k(u+v))$.

Manteniendo fijo el valor de $u$, y dejando que $$f(v)=\frac{\exp(k(u+v))}{\exp(kv)}.\tag{1}$$ Diferenciamos con respecto a $v$. Obtenemos, utilizando la regla del cociente y la regla de la cadena, que $f'(v)=0$. (Si necesitas detalles aquí, se pueden proporcionar).

Por lo tanto, $f(v)$ es una función constante. ¿Qué constante?

Establecemos $v=0$. Encontramos que nuestra constante es $\exp(ku)$. Ahora (1) nos da el resultado.