Coeficiente de $x$ en una extensión finita

Question

Pregunta:

Encontrar el coeficiente de $x$ $$(1+x+2x^2+3x^2+...+nx^n)^2$$

Mi intento:

Yo sé acerca de la expansión que implican $(1+x)^{-1}$. De forma limpia es visible en la pregunta anterior, pero la qusestion es una finito de expansión mientras que $(1+x)^{-1}$ es infinito y por lo tanto unsusable.

Pensé en el uso de $(a+b+c+d+...)^2=(a^2+b^2+c^2+...)+2(\text{sum of pairwise products})$, pero en realidad es un largo y engorroso método para un problema objetivo.

Hay otro binomio de expansión que me falta, que me han ayudado en este objetivo de la pregunta? Por favor, darle algunos consejos.

Answer 1

Imaginar a multiplicarse fuera de los corchetes, $(1 + x + x^2 + ...)(1 + x + x^2 + ...)$; que de ello se toma cada término en el soporte izquierdo y multiplicando por cada término en el derecho del soporte.

Observe que, las únicas veces que este procedimiento produce un '$x$' plazo es cuando se multiplica un '1' de uno de los soportes, y un $x$ desde el otro - cualquier otra combinación le dará un mayor poder de $x$.

Por lo tanto, cuando la expresión se expande, el único '$x$' términos que tenemos es $1\cdot x$ $x\cdot 1$ (a partir de multiplicar el número '1' en el soporte izquierdo por la $x$ en el soporte derecho y viceversa).

Por lo tanto, el coeficiente de $x$ es 1 + 1 = 2.

Nota: Como se puede ver en la primera línea, no he utilizado el hecho de que la expresión que se va a extremos cuadrados en $nx^n$. De hecho, incluso si se tratara de una serie infinita, entonces el argumento anterior sería todavía se mantienen formalmente (es decir, ignorando la convergencia). Esto es básicamente debido a los mayores poderes de $x$ en la expresión de ser cuadrado no puede contribuir a la 'número de $x$s' obtenido cuando la expresión se eleva al cuadrado.

Por lo tanto, si usted realmente quería, el teorema del binomio como usted ha mencionado que podría ser utilizado, aunque no es realmente necesario (y que tendría que trabajar en torno a algunos aspectos técnicos como para que valores el resultado sería debido a la convergencia).

Answer 2

Sugerencia: $(a_1+a_2+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2+2a_1a_2+2a_1a_3+...+2a_1a_n+2a_2a_3+...$

Es la única manera de conseguir $x$ $2a_1a_2=2\cdot 1 \cdot x$. Así, el coeficiente es $2$.

Para acortar esta abajo podría escribir $f(x)=2x^2+...+nx^n$ $(1+x+f(x))^2=1^2+x^2+f(x)^2+2x+2f(x)+2xf(x)$. Es claro que $f(x)$ es de grado 2 por lo tanto el coeficiente de $x$ $2$.

Answer 3

Que $g(x)=(1+x+2x^2+3x^2+\cdots+nx^n)^2$. El coeficiente de $x$ es $g(x)$ $g'(0)$.

Ahora, $g(x)=(1+xf'(x))^2$, donde $f(x)=x+x^2+x^3+\cdots+x^n$.

Por lo tanto, $g'(x)=2(1+xf'(x))(xf''(x)+f'(x))$% y tan $g'(0)=2f'(0)=2$.

La forma combinatoria es cuenta que la única manera de conseguir $x$ $(1+x+2x^2+3x^2+\cdots+nx^n)(1+x+2x^2+3x^2+\cdots+nx^n)$ $1\cdot x$ y $x \cdot 1$, que $2x$.

Answer 4

Marcando el primero de los casos, podemos conjeturar que el coeficiente es siempre $2$. Demostrar por inducción :

Caso Base $n=1$ trivial.

Inducción paso : $$ (1+x + x^2 + ... + nx^n + (n+1)x^{n+1})^2 = \left( \overbrace{(1+x + x^2 + ... + nx^n )}^{A} + \underbrace{(n+1)x^{n+1}}_{B} \right)^2 \\ = A^2 + 2AB + B^2 $$ Claramente no es $x$ $B^2$ y también el grado de $2AB$ al menos $n+1$ así que no hay $x$, ya sea en el mismo. Por lo tanto, el único lugar donde $x$ es $A$ a que, por hipótesis inductiva tiene coeficiente de $2$ por lo tanto $x$ coeficiente de $2$$A^2 + 2AB + B^2$.

Answer 5

Es conveniente utilizar el coeficiente del operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ en una expresión.

Podemos escribir\begin{align} x^2&=x^2\tag{1}\ &=x\tag{2}\ &=2 \end{align}

Comentario:

• (1) restringimos la derecha a sumandos hasta $x^1$ marcas de verificación ya que potencias superiores no contribuyen al coeficiente de $x$.
• (2) multiplicar hacia fuera y seleccione el coeficiente de $x$.