¿Cuál es la conexión entre el $\rho$ $\sigma$ si $\rho\rho^T=\sigma\sigma^T$?

Question

Quiero demostrar que existe una Borel función de $R(\rho,\sigma)$ con valores en $M^{d\times d}$ definido en $D=\lbrace(\rho,\sigma)\in M^{d\times d}\times M^{d\times d}\,: \rho\rho^T=\sigma\sigma^T\rbrace$ tal que $\sigma=\rho R(\rho,\sigma)$$RR^T=I$.

Mi idea es: Diagonalize $\rho\rho^T=\sigma\sigma^T=QDQ^T$ donde Q es una matriz ortogonal.

Es obvio que $\sigma=UQ\sqrt{D}$ U ortogonal de la matriz responde a la petición, pero es esta la única posibilidad? Agradecería cualquier ayuda posible. Gracias de antemano.

Answer 1

Edit: he reescrito este post. Dejé el post original de abajo, porque hay comentarios relacionados con esta publicación original.

Deje $\Im(A)$ denotar la imagen de $A$ $M_k$ el conjunto de real de las matrices de orden $k$.

La Proposición: Vamos A $\rho,\sigma\in M_k$. Estas matrices de satisfacer $\rho\rho^T=\sigma\sigma^T$ si y sólo si $\rho R(\rho,\sigma)=\sigma$, de tal manera que $R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T$ es una proyección ortogonal sobre el $\Im(\rho^T)$. Por otra parte, $R(\rho,\sigma)$ puede ser elegido para ser un borel función de $\rho$$\sigma$.

Nota: Observe que si $\rho$ es invertible, entonces a $\Im(\rho^T)=\mathbb{R}^k$ y la única proyección ortogonal en $\Im(\rho^T)=\mathbb{R}^k$$Id$. Por lo tanto, $R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T=Id$.

Prueba: Supongamos $\rho R(\rho,\sigma)=\sigma$. A continuación,$\rho R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T\rho^T=\sigma\sigma^T$.

Ahora, desde la $R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T$ es una proyección ortogonal sobre el$\Im(\rho^T)$$R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T\rho^T=\rho^T$. Por lo tanto, $\rho R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T\rho^T=\rho\rho^T=\sigma\sigma^T.$

Siguiente, supongamos $\rho\rho^T=\sigma\sigma^T$. A continuación, $\Im(\rho)=\Im(\sigma)$.

Deje $\rho^+$ ser la pseudo-inversa de a $\rho$. Por lo tanto, $\rho\rho^+$ es una proyección ortogonal sobre el $\Im(\rho)=\Im(\sigma)$. Por lo tanto, $\rho\rho^+\sigma=\sigma$. Definir $R(\rho,\sigma)=\rho^{+}\sigma$.

Observe que $R(\rho,\sigma)R(\rho,\sigma)^T=\rho^{+}\sigma\sigma^T(\rho^{+})^T=\rho^{+}\rho\rho^T(\rho^{+})^T=\rho^{+}\rho(\rho^{+}\rho)^T=(\rho^{+}\rho)^2=\rho^{+}\rho$. Recordar que $\rho^{+}\rho$ es una proyección ortogonal en $\Im(\rho^T)$.

Finalmente, $R(\rho,\sigma)=\rho^{+}\sigma$ es borel porque $f(\rho)=\rho^+$ es borel, ya que es un pointwise límite de borel funciones:

$f(\rho)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0+} f_h(\rho)$ donde $f_h(\rho)=(\rho^T\rho+hId)^{-1}\rho^T$.

(Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_pseudoinverse )

$\square$

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Post Original:

Para el caso real, es posible obtener un borel función de $R(\rho,\sigma)$ tal que $\rho R(\rho,\sigma)=\sigma$.

Deje $\rho,\sigma$ ser real de las matrices de orden k. Deje $\Im(A)$ denotar la imagen de $A$.

Si $\rho\rho^T=\sigma\sigma^T$$\Im(\rho)=\Im(\sigma)$.

Deje $\rho^+$ ser la pseudo-inversa de a $\rho$. Por lo tanto, $\rho\rho^+$ es una proyección ortogonal sobre el $\Im(\rho)=\Im(\sigma)$. Por lo tanto, $\rho\rho^+\sigma=\sigma$.

Definamos $R(\rho,\sigma)=\rho^{+}\sigma$. Observe que la función de $R(\rho,\sigma)$ es borel porque $f(\rho)=\rho^+$ es borel, ya que es un pointwise límite de borel funciones:

$f(\rho)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0+} f_h(\rho)$ donde $f_h(\rho)=(\rho^T\rho+hId)^{-1}\rho^T$.

(Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_pseudoinverse )