No Legendre de la conjetura de Andrica la conjetura de la misma?

Question

Si Legendre de la conjetura es verdadera, no pudimos obtener fácilmente por $\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<1$ donde $p_{n}$ $n$th prime?

$$p_{n+1}<(\lfloor \sqrt{p_{n}} \rfloor + 1)^{2}<( \sqrt{p_{n}}+ 1)^{2}$$ $$\sqrt{p_{n+1}}<1+\sqrt{p_{n}}$$ $$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_{n}}<1$$

que es Andrica de la conjetura.

Answer 1

Legendre de la conjetura es reportado por Wikipedia a ser que para cada una de las $n$ no es una de las principales entre el$n^2$$(n+1)^2$. Que implicaría $$ \lfloor \sqrt{p_{n+1}} \rfloor - \lfloor \sqrt{p_n} \rfloor \le 1. $$ Por ejemplo, $\lfloor\sqrt{173}\rfloor=13$$\lfloor\sqrt{167}\rfloor = 12$. Obviamente, en muchos casos, la diferencia entre las partes enteras de las raíces cuadradas de números primos consecutivos es $0$.

Observe, sin embargo, que el$\sqrt{1021}\approx31.953\ldots$$\sqrt{953}\approx30.87\ldots$. Nada de Legendre de la conjetura dice que estos no pueden ser consecutivos de los números primos, pero Andrica la conjetura de reglas que fuera.