Sea T una transformación lineal sobre el espacio vectorial real $\mathbb{R^n}$ en $\mathbb R$ tal que $T ^2 =T$ para el mismo $\mathbb R$

Question

Dejemos que $T$ sea una transformación lineal sobre el espacio vectorial real $\mathbb R^n$ en $\mathbb R$ tal que $T^2 =\mu T$ para algunos $\mu\in\mathbb R$ . Entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

1. $\|Tx\| = |\mu| \|x\|$ para todos $x \in\mathbb {R^n}$

2. Si $\|Tx\| = \| x\| $ para algún vector no nulo $x \in\mathbb R^n$ entonces $\mu=\pm1$

3. $T= \mu I$ donde $I$ es la transformación de identidad en $\mathbb R^n$

4. Si $\|Tx \|>\|x\|$ para un vector no nulo $x \in \mathbb R^n$ entonces $T$ es necesariamente singular.

Estoy completamente atascado en él. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Sugerencia: Considere $T=\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\\0&0\end{pmatrix}$ para los puntos 1 a 3. En cada uno de los ítems 1 y 2, encuentre un $x$ para refutar la declaración. Para el punto 4, considere $T=2I$ .