Demostrar que $x^2\arctan x$ no es uniformemente continua en a $\Bbb R$.

Question

He comprobado que (y estamos obligados a usar esto) $y^2\arctan y-x^2\arctan x\geq(y^2-x^2)\arctan x$ (la prueba estaba cerca de trivial). Ahora tengo que usar esto para mostrar que $f(x)=x^2\arctan x$ no es uniformemente continua en a $\Bbb R$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora (no estoy acostumbrado a escribir pruebas matemáticas en inglés, así que tengan paciencia conmigo):

Vamos a no ser $\delta>0$. Deje $x=\frac{10}{\delta}, y=x+\frac{\delta}{2}$. De ello se desprende que $|x-y|<\delta$, y:

$$\begin{align}|f(x)-f(y)| &=|x^2\arctan x-y^2\arctan y|\\ &\geq(y^2-x^2)\arctan x\\ &=\left(\left(\frac{10}{\delta}+\frac{\delta}{2}\right)^2-\left(\frac{10}{\delta}\right)^2\right)\arctan\frac{10}{\delta}\\ &=\left(\frac{100}{\delta^2}-\frac{100}{\delta^2}+2\frac{10\delta}{2\delta}+\frac{\delta^2}{4}\right)\arctan\frac{10}{\delta}\\ &=\left(10+\frac{\delta^2}{4}\right)\arctan\frac{10}{\delta}\end{align}$$

Y aquí es donde me di cuenta de que mi elección de $x$ $y$ probablemente no era sabio - no he logrado probar que la función es mayor que en el número concreto, como puedo hacer ninguna suposición sobre el valor de $\arctan\frac{10}{\delta}$. No he logrado encontrar la mejor de las variables - agradecería cualquier ayuda/orientación.

Answer 1

Su argumento puede ser ligeramente modificados para que funcionen:

Usted necesidad de utilizar el hecho de que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\arctan x=\pi/2$. A través de las gracias de ello, y dado que un $\delta>0$, se pueden (y lo hacen) elegir un $0<\delta_1<\delta$ suficientemente pequeño, por lo que $\arctan(10/\delta_1)>1$. Ahora defina $x=10/\delta_1$$y=x+{\delta_1\over2}$. Tenemos $$\tag{1}|x-y|<\delta_1<\delta.$$ Por otra parte, sus cálculos llevar con cambios menores para dar $$\etiqueta{2} |f(x)-f(y)|\ge\bigl(10+\textstyle{\delta_1^2\over4}\bigr)\arctan(10/\delta_1)\ge10+\textstyle{\delta_1^2\over4}> 10.$$ Desde $\delta>0$ fue arbitraria, se desprende $(1)$ $(2)$ que $f(x)=x^2\arctan(x)$ no es uniformemente continua sobre la $\Bbb R$.