Mostrar que $f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0$ tiene al menos una raíz

Question

Deje $f$ ser continua en $[a,b]$, continuo con el primer y segundo derivados en $[a,b]$. Supongamos $f$ tiene al menos 3 distintos ceros en $[a,b]$. Mostrar que $f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0$ tiene al menos una raíz en $[a,b]$ donde $g$ es cualquier función continua sobre $[a,b]$.

Decir $f(\alpha)=f(\beta)=f(\gamma)=0;\;\alpha,\beta,\gamma\in(a,b)$ $\alpha<\beta<\gamma$ ya que son distintos.
Por lo tanto, por medio del Teorema del Valor, sé que $f'(\zeta_1)=0$ donde $\zeta_1\in(\alpha,\beta)$; $f'(\zeta_2)=0$ donde $\zeta_2\in(\beta,\gamma)$. Y también para $f''(\zeta_3)=0$; en caso de $\zeta_3\in(\zeta_1,\zeta_2)$.

Sé que tengo que usar el teorema del valor intermedio, pero no tengo idea sobre cómo usar mi resultado para hacerlo. Gracias.

Answer 1

La idea crucial es que el $g$ puede ser cualquier función continua. Por ejemplo puede ser algo como $Cf'$ $C$ realmente grande. A continuación, la función de $f''+gf'-f=f''+C(f')^2-f$ estará dominada por la no-negativos sumando $C(f')^2$. Así que moralmente está claro que tenemos que tener una mirada cuidadosa a un lugar donde $f'=0$.

Así que vamos a $x<y$ dos ceros de $f'$ tal, que no es precisamente un cero de $f$ pero no otros ceros de $f'$ en el medio; sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $f'>0$ en el intervalo de $(x,y)$. Entonces $f(x)<0$, $f(y)>0$, $f''(x)>0$ y $f''(y)<0$. Por lo tanto,$f''(x)+gf'(x)-f(x)>0$$f''(y)+gf'(y)-f(y)<0$. Por el valor de la media que se hacen.

Todo esto es todavía un poco unprecise pero me tengo que ir... la idea está ahí, aunque. Así que hemos de ser capaces de hacer la elección en el último párrafo. Si esto no es posible, se debe obtener un sencillo caso especial.