Cómo resolver $\lim_{x\to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2}$

Question

Resuelve la siguiente pregunta :

\begin{eqnarray} \\\lim_{x\to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2}\\ \end{eqnarray}

La respuesta debe ser $\frac{1}{128}$ .

Lo intento:

\begin{eqnarray} \\\lim_{x\to 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2} &=& \lim_{x\to 16} \frac{(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})}{(4\sqrt{x}-x)(4\sqrt{x}+x)(4+\sqrt{x})}\\ \\ &=& \lim_{x\to 16} \frac{16-x}{(4\sqrt{x}-x)(4\sqrt{x}+x)(4+\sqrt{x})}\\ \end{eqnarray}

¿Qué puedo hacer?

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Gracias por su atención.

Answer 1

Poniendo $\sqrt x=h,$

Tenemos $$\lim_{h\to4}\frac{4-h}{16h^2-h^4}=\lim_{h\to4}\frac{4-h}{h^2(16-h^2)}=\lim_{h\to4}\frac{4-h}{h^2(4-h)(4+h)}=\lim_{h\to4}\frac1{h^2(4+h)}=\cdots$$ Anulación $4-h$ como $4-h\ne0$ como $h\to4$

Answer 2

Una pista.

$$(4\sqrt{x}-x)(4\sqrt{x}+x)(4+\sqrt{x})=\sqrt{x}(4-\sqrt{x})\cdot \sqrt{x}(4+\sqrt{x})^2=x(16-x)(4+\sqrt{x})$$

Answer 3

Creo que puedes hacerlo como has empezado, de la siguiente manera:

$$\frac {4-\sqrt x}{16x-x^2}\cdot \frac {4+\sqrt x}{4+\sqrt x}=\frac {16-x}{x(16-x)(4+\sqrt x)}=\frac 1{x(4+\sqrt x)}$$

Lo complicaste demasiado al factorizar el fondo (denominador) de la forma en que lo hiciste. Con el límite en $16$ , busca anular un factor $(x-16)$ . También puede cancelar $4-\sqrt x$ directamente y obtener el mismo resultado.

Answer 4

También puedes utilizar la regla de L Hospital ya que está en forma 0/0.