Polinomios irreducibles mónicos de grado 6 en $F_{5}[X]$

Question

Pregunta A ¿Cuántos polinomios irreducibles mónicos de grado 6 en $F_{5}[X]$

Pregunta B Dé un ejemplo de un irreducible polinomio de grado 6 en

$F_{5}[X]$

Idea para una Tal polinomio sería de la forma: $f(x)=x^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g$ avec $b, c, d, e, f, g \in$ { $0, 1, 2, 3, 4$ }. $f(x)$ es irreducible si no tiene factores lineales, pero hay demasiadas incógnitas para encontrarlos. Así que no estoy seguro de cómo demostrar esta afirmación general

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Idea para b Así que necesito encontrar un polinomio de grado 6 tal que $0, 1, 2, 3, 4$ son raíces. Toma $f(x)=x^6+b$ . He intentado $f(x)$ para todos los valores $0, 1, 2, 3, 4$ y lo redujo a $b=3$ siendo el único caso en el que f(x) de esta forma no tiene raíces. Por lo tanto $f(x)=x^6+3$ ¿Esto está bien?

Answer 1

Explicaré cómo encontrar el número de irreducibles mónicos de grado $6$ en $\Bbb F_5$ y espero que el método general resulte obvio a partir de este ejemplo. Por otro lado, encontrar uno de ellos es otro cantar.

Para facilitar la escritura, lo llamaré $k_n$ el campo con $5^n$ elementos. Entonces $\Bbb F_5=k_1$ , $\Bbb F_{25}=k_2$ etc. Quiero considerar $k_6$ . Tiene tres subcampos propios, a saber $k_1$ , $k_2$ y $k_3$ . Dejemos que $N_m$ sea el número de elementos $\alpha$ de $k_6$ con la propiedad de que $\alpha\in k_m$ pero en ningún subcampo propio de $k_m$ .

Fijémonos en dos cosas: primero, que hemos obtenido una partición del conjunto $k_6$ en cuatro conjuntos disjuntos, de modo que $N_1+N_2+N_3+N_6=5^6$ y, en segundo lugar, que dicho elemento $\alpha\in k_m$ no en un subcampo propio tiene exactamente $m$ conjugados (incluido él mismo) sobre $\Bbb F_5$ y el polinomio mónico cuyas raíces son esos conjugados será un $\Bbb F_5$ -polinomio irreducible de grado $m$ . Además, si llamamos $I_m$ el número de irreducibles mónicos de grado $m$ tenemos $mI_m=N_m$ . Por lo tanto, tenemos: $$ \begin{align} 5^6&=N_1+N_2+N_3+N_6&\text{and more generally}\\ 5^m&=\sum_{d|m}N_d&\text{for any $m$}\\ N_m&=\sum_{d|m}\mu(d)5^{m/d}=mI_m\,, \end{align} $$ donde $\mu$ es la función de Möbius. Para nuestro caso especial $\mu(1)=\mu(6)=1$ y $\mu(2)=\mu(3)=-1$ . En particular, el número de sextas partes mónicas irreducibles sobre $\Bbb F_5$ es $$ I_6=\frac16\bigl(5^6-5^3-5^2+5\bigr)=2580 $$

Answer 2

Lubin le enseñó a calcular el número de irreducibles sextas mónicas.

Aquí hay una: $$ p(x)=x^6+x^3+1. $$ Puede (¿debería?) reconocerlo como el noveno polinomio ciclotómico $\Phi_9(x)=(x^9-1)/(x^3-1)$ . Son siempre irreducibles sobre $\Bbb{Q}$ . En un campo finito su irreducibilidad no está dada, pero es fácil de comprobar utilizando el siguiente resultado general.

Es un hecho. El polinomio ciclotómico $\Phi_n(x)$ de orden $n$ y grado $\phi(n)$ sigue siendo irreducible módulo a un primo $p, p\nmid n,$ sólo si $m=\phi(n)$ es el número entero positivo más pequeño $m$ con la propiedad $p^m\equiv1\pmod n$ .

Prueba. La condición $p\nmid n$ significa que existe un $n$ raíz primitiva de la unidad $\zeta$ en algún campo de extensión $K=\Bbb{F}_{p^m}$ de $\Bbb{F}_p$ . El polinomio mínimo $m(x)$ de $\zeta$ en $\Bbb{F}_p$ será un factor de $\Phi_n(x)$ por lo que sólo necesitamos encontrar el grado de $m(x)$ . Pero es un hecho básico sobre campos finitos que el grupo multiplicativo de $K$ es cíclico de orden $p^m-1$ . Así que $K$ contiene una primitiva $n$ raíz de la unidad si y sólo si $n\mid (p^m-1)$ . En consecuencia $\deg m(x)$ es el número entero más pequeño $m$ tal que $n\mid (p^m-1)$ . Q.E.D.

En su caso de ejemplo es fácil ver que con $n=9, p=5$ obtenemos $m=6$ . Esto equivale a demostrar que la clase de residuo $\overline{5}$ módulo nueve es un generador del grupo $\Bbb{Z}_9^*$ .

Advertencia: No hay garantía de que exista un polinomio ciclotómico irreducible del grado deseado. Es sólo una de las primeras familias a comprobar, porque la comprobación es fácil utilizando el hecho anterior.

Answer 3

Pista: Tenemos 5 pol de grado 1, son irreducibles. ¿Cuántos polinomios reducibles de grado $2$ ¿están ahí? Los hay $(x-a)(x-b)$ avec $a,b \in \mathbb Z_5$ por lo que son 15 (cuidado con las conmutaciones). ¿Cuántos en general de grado 2? 25. Entonces hay 10 polinomios irreducibles de grado 2. ¿Cuántos reducibles de grado 3? ¿Cuántos en total? $\cdots$ ¡Sigue por aquí!