Express $a^n+b^n$ en términos de $x$ $y$ donde $a+b=x$ $ab=y$

Question

Si $a+b=x$$ab=y$, expresar $a^n+b^n$ en términos de$x$$y$. El siguiente puede ayudarle a encontrar el patrón. \begin{align*} a + b &= x\\ a^2 + b^2 &= x^2 - 2 y\\ a^3 + b^3 &= x^3 - 3 x y\\ a^4 + b^4 &= x^4 - 4 x^2 y + 2 y^2\\ a^5 + b^5 &= x^5 - 5 x^3 y + 5 x y^2\\ a^6 + b^6 &= x^6 - 6 x^4 y + 9 x^2 y^2 - 2 y^3\\ a^7 + b^7 &= x^7 - 7 x^5 y + 14 x^3 y^2 - 7 x y^3\\ a^8 + b^8 &= x^8 - 8 x^6 y + 20 x^4 y^2 - 16 x^2 y^3 + 2 y^4\\ a^9 + b^9 &= x^9 - 9 x^7 y + 27 x^5 y^2 - 30 x^3 y^3 + 9 x y^4\\ a^{10} + b^{10} &= x^{10} - 10 x^8 y + 35 x^6 y^2 - 50 x^4 y^3 + 25 x^2 y^4 - 2 y^5 \end{align*}

Usted puede ser que necesite más elementos para encontrar el patrón. OK. El código siguiente en Mathematica puede ahorrar su tiempo.

Table[{a^i + b^i, GroebnerBasis[{a^i + b^i, a + b - x, a b - y}, {x, y}, {a,b}]}, {i, 1, 20}] // TableForm

Answer 1

1. $a$ $b$ son raíces de la ecuación de $T^2-xT+y=0$, por lo que puede utilizar de Newton identidades. Esto le dará una fórmula recursiva.

2. Una simplificación de la recursividad se puede encontrar de la siguiente manera: Vamos a $p_n=a^n+b^n$. A continuación,$p_n x = (a^n+b^n)(a+b)=p_{n+1}+abp_{n-1}=p_{n+1}+yp_{n-1}$$p_{n+1}=xp_n-yp_{n-1}$. La base de los casos se $p_0=2$$p_1=x$.

3. OEIS puede ayudar a encontrar una fórmula para los coeficientes:

   http://oeis.org/search?q=2%2C5%2C9%2C14%2C20

   http://oeis.org/search?q=2%2C7%2C16%2C30%2C50

   Parecen ser fácilmente expresables como suma de dos coeficientes binomiales. He pensado que el $k$-columna está dada por $$ \binom{n+1-k}{n-2(k-1)}+\binom{n-k}{n-2(k-1)} $$

   También puede escribir los coeficientes como una especie de triángulo de Pascal y supongo que la regla, que parece ser una variación del uno en el triángulo de Pascal. He encontrado esta regla: $$ \binom{n+1}{k}'=\binom{n}{k}'+\binom{n}{k-1}'-\binom{n-2}{k-2}' $$

Answer 2

$ a + b = x $

$ ab = y $

$ a-b = \sqrt {(a+b)^2 – 4ab} = \sqrt {x^2-4y} $

$ a= ({x + \sqrt {x^2-4y} })/2 $

$ b= (x - \sqrt {x^2-4y})/2 $

$ a^n + b^n $ = $ \{ (x + \sqrt {x^2-4y})^n $ + $ (x - \sqrt{x^2-4y}) ^n $ } / $2^n$