Funciones, donde la pre-imagen de conjuntos convexos es convexo

Question

Para las funciones de $f:\mathbb R\to\mathbb R$, me he dado cuenta de una propiedad interesante: $f$ es monótono exactamente si la pre-imágenes de conjuntos convexos son convexas.

Ahora la última condición, por supuesto, pueden definirse para cualquier mapa entre los espacios lineales. Es obvio que hay no corresponden con la monotonía (después de todo, ¿qué significa que una función $\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ es monótono?).

Sin embargo me pregunto: ¿hay algún otro intuitiva de la propiedad que está conectado a la demanda de pre-imágenes de conjuntos convexos es convexo?

Answer 1

Este es más bien un comentario.

En realidad, su observación en el escalar caso es equivalente a "la monotonía de las funciones son exactamente las quasilinear funciones", ver https://en.wikipedia.org/wiki/Quasiconvex_function.

Además, no es difícil ver que

• Para todos los convexo $C \subset \mathbb{R}^n$, la preimagen $F^{-1}(C)$ es convexo
• Para todos $x,y \in \mathbb{R}^m$, $\lambda \in [0,1]$, el punto de $F(\lambda \, x + (1-\lambda) \, y)$ pertenece al casco convexo de $F(x)$$F(y)$.

son equivalentes. Tenga en cuenta que la segunda viñeta implica que los subespacios se asignan a los subespacios.

Por último, me gustaría señalar que ya hay una noción de "monotonía" (se generaliza monótonamente creciente de funciones) para las funciones de asignación de $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$(o, más generalmente, de un espacio de Banach $X$ en su topológica del espacio dual $X^*$), ver https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function#Monotonicity_in_functional_analysis.