Deje $(G,*)$ ser un grupo con identidad $e$ , vamos a $a,b∈G$ tal que $a*b^3*a^{-1}=b^2$$b^{-1}*a^2*b=a^3$ , entonces ¿cómo podemos demostrar que $a=b=e$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dado $$ab^3a^{-1}=b^2$$ thus we get $$ab^6a^{-1}=b^4\;,\;\;ab^9a^{-1}=b^6$$
Replaceing $b^6$$ab^6a^{-1}=b^4$, obtenemos $a^2b^9(a^{-1})^2=b^4$. Por lo tanto $a^2b^{18}(a^{-1})^2=b^8$. De nuevo $ab^3a^{-1}=b^2$ da $ab^{27}a^{-1}=b^{18}$. La sustitución de $b^{18}$, obtenemos $a^3b^{27}(a^{-1})^3=b^8$. Pero $b^{-1}a^2b=a^3$. Por lo tanto $(b^{-1}a^2b)b^{27}(b^{-1}a^2b)^{-1}=b^8$. Esto le da a $a^2b^{27}(a^2)^{-1}=b^8$. También se $a^2b^9(a^{-1})^2=b^4$ $a^2b^{18}(a^{-1})^2=b^8$ dar $a^2b^{27}(a^2)^{-1}=b^{12}$. Por lo tanto $b^8=b^{12}, i.e. b^{4}=e$. Por lo tanto $ab^6a^{-1}=e$, y por lo tanto $b^6=e$. por eso,$b^2=e$, y del mismo modo se puede demostrar que $b^3=e$. Por eso, $b=e$. Ahora mostrando el $a=e$ es fácil.
Jeff
Puntos
804
Aquí es una visualización de Anupam de la prueba. Creo que este método es también aplicable a otros grupos.
Un grupo es sólo una categoría con un objeto en el que cada uno de morfismos es invertible. En las categorías podemos dibujar diagramas conmutativos. El dado de las relaciones se pueden extraer de la siguiente manera:
Aquí $a$ representa el rojo flecha vertical y $b$ verde horizontal de la flecha. Ahora reproducimos el primer diagrama de $4$ veces horizontalmente y, a continuación, $3$ veces verticalmente, con el fin de alinear tres flechas rojas:
El rectángulo exterior puede ser torcido con la segunda relación, la cual se obtiene:
Pero la gran diagrama anterior también contiene esta, pero con $12$ en lugar de $8$ flechas verdes indican a continuación. Por lo tanto, $4$ flechas verdes cancelar. A partir de partes de la gran diagrama vemos que, a continuación, $6$ flechas verdes cancelar, por lo tanto también es $2$ cancelar. Pero, a continuación, $3$ cancelar, y por lo tanto la flecha verde se cancela. La segunda relación nos dice que la flecha roja, también se cancela. QED
Edit: parece que me he reinventado van Kampen diagramas.
