Propiedad topológica: los subconjuntos teóricamente grandes de un espacio infinito no son compactos.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico infinito. Digamos que $X$ satisface # si ningún subconjunto de $X$ de cardinalidad $|X|$ es compacto. Así, por ejemplo, está claro que

• ningún espacio compacto (infinito) satisface #
• cualquier espacio discreto infinito satisface #
• $\mathbb R$ no satisface # ya que cualquier intervalo cerrado y acotado no trivial tiene la misma cardinalidad que $\mathbb R$ y es compacto
• cualquier cardinal regular incontable en la topología de orden satisface #

Parece que puede ser una propiedad interesante. ¿Qué opinas? ¿Existe un nombre para ella? ¿Existen otras propiedades topológicas estrechamente relacionadas?

Gracias

Answer 1

No he visto esta propiedad antes (pero eso no significa mucho). Podrías intentar pensar cómo se preserva esta propiedad mediante construcciones topológicas estándar (pero parece que no se preserva bien debido a la dependencia del tamaño del espacio). En su lugar, podrías definir el invariante cardinal correspondiente $\sup\{\lvert C\rvert: C ⊆ X \text{ compact}\}$ o su variante estricta $\min\{κ: C ⊆ X \text{ is compact} \implies \lvert C \rvert < κ\}$ y ver cómo se conservan los invariantes y si hay relación con los invariantes cardinales estándar. Nótese que # para $X$ equivale a que el invariante cardinal estricto es $≤ \lvert X \rvert$ .