Cuando leí "Contemporáneo Álgebra Abstracta" por José gallian, bajo el tema de polinomios irreducibles, su primer ejemplo es el polinomio $$2x^2+4=0$$ is reducible over $\mathbb Z$ pero irreductible más $ \mathbb Q$. No sé cómo es esto posible? Ya que es de grado 2, podemos ver las raíces del polinomio, donde se encuentra? si se encuentra en $\mathbb Z$ se encuentran en la $ \mathbb Q$, entonces ¿cómo puede ser reducible $\mathbb Z$ cuando las raíces son números complejos? explique pls
Respuesta
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No es la raíz, es el "$2$"!
Un polinomio es irreducible sobre un anillo si no puede ser escrito como un producto de dos no es invertible polinomios. En $\mathbb{Z}$, "$2$" es noninvertible, por lo $(x^2+2)2$ está adecuadamente un "trivial" de factorización.
Mientras tanto, en $\mathbb{Q}$, el polinomio "$2$" es invertible, ya que ${1\over 2}$ es racional (prueba: ejercicio :P). Así que el factoriztion $(x^2+2)2$ es "trivial" en el contexto de $\mathbb{Q}$, ya que podemos siempre extraer un factor de $2$ desde cualquier polinomio.
EDIT: Creo que de esta manera: decir que un polinomio es irreducible sobre un anillo significa que no tiene "trivial" factorizations. Ahora, cuando hacemos el anillo más grande (por ejemplo, pasar de $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$) ocurren dos cosas:
Más factorizations a ser posible.
Más factorizations se vuelven triviales.
Así que a pesar de que su primer instinto podría ser "polinomios sólo ir de "irreductible" a "reducible" como el anillo se hace más grande," en realidad sucede lo contrario!
De hecho, este es un buen ejercicio:
Se puede encontrar un polinomio $p\in\mathbb{Z}[x]$ que es irreducible sobre$\mathbb{Z}$, pero se reduce más de $\mathbb{Q}$?
Tenga en cuenta que la definición de reducibilidad más de un campo puede sonar diferente:
Para $F$ un campo, un polinomio $p\in F[x]$ es irreducible si $p$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes.
Pero esto es en realidad equivalente a la definición que me dio anteriormente, en el caso de que tenga más de un campo: el noninvertible elementos de $F[x]$ son precisamente los polinomios no constantes!
