Estoy estudiando Milnor de las Singularidades de los Complejos Hypersurfaces, y una pequeña, quizás discutible, punto en el Capítulo 10 me ha pensando en círculos. (Hice diferentes pero relacionadas pregunta aquí).
He aquí algunos antecedentes relevantes material, la mayoría de los cuales se pueden encontrar en el libro.
Deje $f \colon (\mathbb{C}^{n},\mathbf{0}) \to (\mathbb{C},0)$ ser un complejo de la analítica de la función con una aislados punto crítico en el origen. Definir el singular hipersuperficie $V_{f, \kappa} = f^{-1}(\kappa)$ pequeña $\kappa > 0$. Milnor demuestra que el mapa de $\varphi_{f} = f/\| f \| \colon S_{\epsilon}^{2n-1} \setminus V_{f, \kappa} \to S^{1}$ es un fibration, donde $\epsilon > 0$ es lo suficientemente pequeño. La intersección de a $V_{\kappa}$ con una pequeña esfera, $S_{\epsilon}^{2n-1}$ es un algebraicas enlace que denotamos por a $K_{f}$. (Se sabe que todos los algebraicas enlaces son fibrado enlaces (por definición), así como afirmar toro enlaces.)
En 1928, Brauner demostrado que para $f = z_{1}^{p} + z_{2}^{q}$, $K_{f}$ es un toro de enlace $T_{p,q}$, que es un nudo si $p$ $q$ son coprime. En 1968, Milnor conjeturó que el unknotting número $u(T_{p,q})$ es igual a la de delta invariantes de los correspondientes complejos algebraicas plano de la curva. Por un teorema de Kronheimer y Mrowka en 1992, la conjetura es verdadera.
En el mismo libro, Milnor demuestra la relación $\mu = 2 \delta - r + 1$ donde $\delta$ es el delta invariante, $r$ es el número analíticamente irreductible ramas de $V_{f,0}$ que pasa por el origen y $\mu = \dim_{\mathbb{C}} \mathbb{C}\{ z_1, \dots, z_n \} / \langle \partial_1 f, \dots, \partial_n f \rangle$.
Preguntas: ¿hay una algebraicas enlace que no de el toro de tipo $T_{p,q}$; uno cuya travesía número, unknotting número, etc. es bien conocido? Por ejemplo, ¿cuál es la relación de $f = z_1^{a} z_2^{b} + z_1^{c} z_{2}^{d}$, donde no tanto $ac = 0$ $bd = 0$ (siempre que $a,b,c,d$ son enteros no negativos tales que $f$ tiene un aislado punto crítico en el origen)?
Puede el delta invariante definirse para cualquier no-degenerada ponderado homogénea polinomio de dos variables? Si es así, ¿cómo se calcula? Mi entendimiento es que el delta invariante puede ser definida si y solo si el polinomio es de la plaza libre, lo cual me lleva a otra pregunta: ¿Qué es una plaza libre de complejos polinomio? Si es así, ¿cómo conciliar el hecho de que la correspondiente unknotting número existe, pero el delta invariante no puede ser definido, si estos están supuestos a ser igual?
Edit: la pregunta sobre La plaza libre de complejos polinomios ha sido respondida en los comentarios. Desde el anillo de poder convergente la serie de $\mathbb{C}\{ z_1, \dots, z_n \}$ es un disco flash usb, a continuación, una serie de $f$ es la plaza libre si y sólo si se toma en cuenta en irreducibles, $f = f_1^{r_1} \cdots f_{n}^{r_{n}}$, es el caso de $r_{i} = 1$. Nota, aquí $r = \sum_i r_i$. Esto es cierto (aunque no demasiado fácil de demostrar) si y sólo si $\mu$ es no negativo y finito.
Gracias!
