Cómo mostrar que $y^T x - \frac{1}{2}x^T Q x$ está delimitado por encima?

Question

Estrictamente convexa quadric función. Considere La Posibilidad De $f(x)=\frac{1}{2}x^TQx$,$Q\in S_{++}^n$. La función de $y^T x - \frac{1}{2}x^T Q x$ está delimitado por encima como una función de la $x$ todos los $y$. Es attaints su máximo en $x=Q^{-1}y$.

Este es un ejemplo de mi libro, Pero yo no lo entiendo así. Yo no veo cómo $y^T x - \frac{1}{2}x^T Q x$ es limitado y cómo encontrar su máximo.

Answer 1

Podemos completar el cuadrado. Queremos escribir $F(x) = \frac12 x^T Q x - y^T x$ en forma \begin{align} \frac12 (x - x_0)^T Q (x - x_0) + c &= \frac12 x^T Q x - x^T Q x_0 + \frac12 x_0^T Q x_0 + c. \end{align} Para hacer las cosas coinciden, debemos retirar $x_0$ tales que $Q x_0 = y \iff x_0 = P^{-1}$ y, y debemos escoger \begin{align} c &= - \frac12 x_0^T Q x_0 \\ &= -\frac12 y^T Q^{-1} y. \end{align} Hemos descubierto que \begin{align} \frac12 x^T Q x - y^T x &= \underbrace{(x - Q^{-1} y)^T Q (x - Q^{-1}y)}_{\text{nonnegative}} -\frac12 y^T Q^{-1} y. \end{align} Esto demuestra que $F$ está acotada por debajo, y que alcanza un mínimo en $x = Q^{-1}y$.

(Tenga en cuenta que minimizar $F$ es equivalente a la solución de $Qx = y$. Esa es una muy útiles hecho.)