fórmula para el número de triángulos

Question

Hola, tengo un triángulo a partir de $0$ y subiendo por una en la parte inferior de la fila hasta que queden $r$ elementos en la fila inferior y hay $r$ filas un número está formado por la adición de los dos números hacia la grasa final del triángulo juntos.

Ejemplo: $$x \downarrow\ $$ $$ \begin{matrix}12\end{de la matriz}\\ \begin{matrix}4 & 8\end{de la matriz}\\ \begin{matrix}1 & 3 & 5\end{de la matriz}\\ \begin{matrix}0 & 1 & 2 & \boxed{3}\end{de la matriz} $$ $$\begin{matrix}& & r - 1 \uparrow\end{matrix}$$ $\therefore$ cuando $r = 4$, $x = 12$.

---

Al $r = 8$ $$ \begin{matrix}0\ \ & 1\ \ & 2\ \ & 3\ \ & 4\ \ & 5\ \ & 6\ \ & 7\ \ \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}1\ \ & 3\ \ & 5\ \ & 7\ \ & 9\ \ & 11\ & 13\ \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}4\ \ & 8\ \ & 12\ & 16\ & 20\ & 24\ \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}12\ & 20\ & 28\ & 36\ & 44\ \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}32\ & 48\ & 64\ & 80\ \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}80\ & 112 & 144 \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}192 & 256 \end{de la matriz}\\ \begin{matrix}448\end{de la matriz}\\ $$ $\therefore x = 448$

¿Cómo realizar el $x$$r$? ¿Cuál es la fórmula? Cualquier ayuda, por lo que sugiere un nuevo punto de vista o de fórmula(e) sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Una solución recursiva: el número de filas $0$ $r-1$ $0$siendo el más gordo, observe que la diferencia entre números consecutivos en la fila $k$$2^k$.

Denotar por $f(n)$ el número de la última fila de un triángulo con $n$ filas. A continuación, $f(n)=2f(n-1)+2^{n-2}$

Aviso de $f(1)=0,f(2)=1,f(3)=4$

A partir de esta recurrencia pasamos a $f(n)=(n-1)2^{n-2}$

---

La prueba es por inducción. Supongamos $f(n)=(n-1)2^{n-2}$

a continuación, $f(n+1)=(n-1)2^{n-1}+2^{n-1}=n(2^{n-1})$ como se desee.

Answer 2

Consideran que el primero de los dos "columnas". Aviso patrones?

$$0 \space 1\\1 \space 3 \\4 \space 8\\ 12\space 20$$

¿Cuál es la regla?

$$a_{i+1} = a_i + b_i$$ $$b_{i+1} = a_{i+1} + 2 (b_i - a_i) = 3b_i - a_i$$

Trate de encontrar una fórmula para $a_n$.