Máximo conjunto abierto donde $(e^{nz}/n)_{n}$ converge uniformemente

Question

Me gustaría encontrar el máximo conjunto abierto tal que la secuencia de $\left(\frac{e^{nz}}{n}\right)_{n\in\Bbb{N^*}}$ convergen uniformemente para $z\in\Bbb{C}$.

Tenemos $\exp(nz)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{n^kz^k}{k!},$, de modo que $\frac{e^{nz}}{n}=\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{k-1}z^k}{k!}.$

Si me denotar $a_k=\frac{n^{k-1}}{k!}$ tenemos $a_k\ne 0$ todos los $k\in\Bbb{N.}$ Tenemos $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{n^{k}k!}{n^{k-1}(k+1)!}=\frac{n}{k+1}\to0 \quad\mbox{as}\quad k\to\infty.$$

Entonces el radio de convergencia de $\sum_{k=0}^\infty\frac{n^{k-1}z^k}{k!}$$\infty,$, de modo que converge en todas partes.

Así que si no me equivoco la secuencia converge uniformemente en $\Bbb{C}.$

Am-en lo correcto ?

Answer 1

Deje $f_n(z)=\frac{e^{nz}}{n}$. Deje $z=x+iy$ donde$x=\text{Re}(z)$$y=\text{Im}(z)$. Entonces, podemos escribir

$$\frac{e^{nz}}{n}=\frac{e^{nx}\,e^{iny}}{n} \tag 1$$

Claramente, para $x>0$, la secuencia de $f_n(z)$ diverge.

Si $x\le 0$, entonces tenemos para cualquier $\epsilon>0$

$$\begin{align} \left|\frac{e^{nz}}{n}\right|&=\frac{e^{-n|x|}}{n}\\\\ &\le \frac1n\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>N>\frac{1}{\epsilon}$. Por lo tanto la secuencia converge uniformemente para $x\le 0$ y difiere de otra manera.

El máximo conjunto abierto es, por tanto, la de la izquierda la mitad de avión.