Considere un grupo $G$ . Supongamos que cada elemento de $G$ tiene un orden finito. Quiero demostrar que un grupo abeliano finitamente generado de este tipo es finito. Esta idea de que cada elemento de $G$ que tiene un orden finito se llama grupo de torsión. He pensado en mencionarlo por si lo que he dicho arriba no tiene sentido.
Intento: Deja $g_{1}, g_{2}, ... g_{n}$ sea $G$ de los generadores. Dado que $G$ es abeliano, cualquier elemento $g$ en $G$ puede escribirse como $g = g_{1}^{e_{1}} * ... * g_{n}^{e_{n}}$ . Como los generadores $g_{i}$ tienen un orden finito $m_{i}$ entonces sólo hay $m_{1} * ... * m_{n}$ expresiones de la forma $g = g_{1}^{e_{1}} * ... * g_{n}^{e_{n}}$ con $1 \leq e_{i} \leq m_{i}$ . Así que el orden de $G = m_{1} * ... * m_{n}$ es finito.
