Encuentre $\lfloor {\alpha}^6 \rfloor$

Question

Si $\alpha$ es una raíz real de la ecuación
$$x^5-x^3+x-2=0$$
encontrar el valor de $\lfloor {\alpha}^6 \rfloor$ .

Este me dejó totalmente perplejo. Se nos pide que calculemos $\lfloor {\alpha}^6 \rfloor$ sin calcular realmente la raíz ni utilizar wolfram alpha o cualquier otra calculadora. Encontré que la ecuación anterior sólo tiene una raíz real dibujando su gráfica mediante el cálculo. También pude utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que $1<\alpha<2$ pero esto es de poca utilidad mientras se calcula $\lfloor {\alpha}^6 \rfloor$ . ¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Puedes empezar multiplicando la ecuación por $x$ para conseguir $$\alpha^6=\alpha^4-\alpha^2+2\alpha$$ A continuación, dividiendo por $x$ da $$\alpha^4=\alpha^2-1+\frac2\alpha$$ y combinando estos dos hechos tenemos $$ \alpha^6 = 2\alpha - 1 + \frac 2\alpha $$ cuyo rango en $(1,2)$ es lo suficientemente pequeño como para ser tratado por el suelo.