Prueba $\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^3}\right)<3$ para todos los enteros positivos $n$

Question

Demostrar que $\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^3}\right)<3$ para todos los enteros positivos $n$

Este problema está copiado de Math Olympiad Treasures de Titu Andreescu y Bogdan Enescu.Empiezan diciendo que la inducción no funcionaría directamente aquí ya que el lado derecho permanece constante mientras el izquierdo aumenta.Se libran de este problema reforzando la hipótesis. $$\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^3}\right)\le3-\dfrac{1}{n}$$ y luego proceder por inducción.

El problema es que no encuentro una motivación para el cambio anterior.Es decir,podríamos haber restado muchas cosas de la RHS pero lo que debería impulsarnos a intentar $\dfrac{1}{n}$ El resto de la prueba es bastante estándar,pero no veo cómo se supone que se me ha ocurrido.¿Es sólo experiencia?o es una técnica estándar?Se agradecerá un poco de orientación y motivación.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, el truco para restar algo (o multiplicar con algo $< 1$ ) y demostrar una desigualdad más fuerte que la requerida es estándar.

Así que queremos probar

$$p_n \leqslant 3- a_n$$

para un preferentemente simple $a_n > 0$ por inducción. Para el inicio de la inducción, aquí necesitamos $a_1 \leqslant 1$ . Para que el paso de inducción funcione, necesitamos

$$\left( 1 + \frac{1}{(n+1)^3}\right)(3-a_n) \leqslant 3 - a_{n+1}.$$

Multiplicando y anulando el $3$ obtenemos

$$-a_n + \frac{3}{(n+1)^3} - \frac{a_n}{(n+1)^3} \leqslant -a_{n+1}.$$

Tirar el $\frac{a_n}{(n+1)^3}$ para simplificar los cálculos, vemos que

$$\frac{3}{(n+1)^3} \leqslant a_n - a_{n+1}$$

es suficiente. Con el ansatz $a_n = \frac{c}{n^k}$ tenemos

$$a_n - a_{n+1} = c\frac{(n+1)^k-n^k}{n^k(n+1)^k} \approx c\frac{k}{n(n+1)^k},$$

así que aquí necesitamos $k \leqslant 2$ . Pero $a_1 \leqslant 1$ requiere $c\leqslant 1$ y por lo tanto $k = 2$ no funciona. Así que intentamos $k = 1$ y encontrar $a_n = \frac{1}{n}$ funciona.

Answer 2

Desde entonces: $$ 1+\frac{1}{k^3}=\left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1-\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}\right) = \left(1-\frac{1}{k^2}\right)\left(1+\frac{1}{k(k-1)}\right) $$ y: $$ \prod_{k=2}^{+\infty}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{1}{2} $$ que tenemos: $$ \prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k^3}\right)=\prod_{k=2}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k(k-1)}\right)=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k(k+1)}\right),$$ pero como $1+x < e^x$ y $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ se deduce que: $$ \prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k^3}\right)<\exp\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}=e<3.$$ Con el mismo truco también podemos demostrar el más fuerte: $$ \prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{k^3}\right) < \frac{3}{2}\sqrt{e} <\frac{5}{2}.$$

Answer 3

Si necesitamos demostrar la desigualdad fuerte y demostrar las desigualdades débiles para los valores más simples de imaginar es fácil...

\begin {align*} \left (3- \frac1n\right ) \left (1+ \frac1 {(n+1)^3} \right ) &= 3+ \frac3 {(n+1)^3}- \frac1n - \frac1 {n(n+1)^3} \\ &=3+ \frac {3n-(n+1)^3-1}{n(n+1)^3} \\ &=3+ \frac {-n^3-3n^2-2}{n(n+1)^3} \\ &=3+ \frac {-1}{n+1} \frac {n^3+3n^2+2}{n^3+2n^2+n} \\ & \leq3 - \frac1 {n+1} \end {align*}

Answer 4

Sólo por diversión, he intentado usar esto (he respondido sobre ello no hace mucho :) ) :

$ [x_1*...*x_n]^{\frac{1}{n}} \leq \frac{x_1+...+x_n}{n} $

Ya está listo: $ x_k = 1 + \frac{1}{k^3} $ ; $C_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^3} $

Obtienes..: $x_1*...*x_n = 2*(1+\frac{1}{2^3})...(1 +\frac{1}{n^3}) \leq 2*(\frac{x_2+...+x_n}{n-1})^{n-1} = 2*(\frac{n-1+C_n}{n-1})^{n-1} $

\=> $ 2*(1+\frac{1}{2^3})...(1 +\frac{1}{n^3}) \leq 2*(1+\frac{1}{n-1}*C_n)^{n-1} $

Ahora $C_n \rightarrow C $ con $C_n \leq C $ y $ (1+\frac{C_n}{n-1})^{n-1} \leq e^{C_n} \leq e^C$

Por lo tanto, se obtiene: $ 2*(1+\frac{1}{2^3})...(1 +\frac{1}{n^3}) \leq 2*e^C = e^{ln(2) + C}$

Ahora queremos ver si : $ln(2) + C \leq ln(3) $ Numéricamente esto es cierto ya que $ln(\frac{3}{2})$ ~0,4~ $2*C$ . No es muy difícil de probar.

No es realmente lo que se preguntaba pero me pareció interesante.