$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$

Question

$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$

Necesito calcular las derivadas parciales en $(0,0)$, y concluir si es diferenciable allí.

$f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}{f(x+h,y)-f(x,y)\over h}=0=f_y(x,y)$, por lo que puedo concluir que $f_x(0,0)=0$ $f$ es diferenciable allí?

Answer 1

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to0}\frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to0}0=0$. Asimismo, para $y$.

Los parciales existen y son $0$ pero eso no significa necesariamente que la función sea diferenciable. Se sugiere, sin embargo, que si se va a ser diferenciable, entonces el lineal mapa necesitamos es el $0$ mapa. Deje $h=(h_{1},h_{2})$, entonces:

$\frac{f(0+h)-f(0)-Df(0)h}{\|h\|}=\frac{\sqrt{|h_{1}h_{2}|}}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}$

Tome $h_{1}=h_{2}=t$$t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, la de arriba es:

$\frac{|t|}{|t|\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Esto es cierto para todos los $t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Así que si nos acercamos a $(0,0)$ a lo largo de la línea de $y=x$, entonces el límite no vaya a $0$. Por lo tanto la función no es diferenciable.