Funciones continuas entre espacios métricos son iguales si son iguales en un subconjunto denso

Question

Si dos funciones definidas sobre espacios métricos $X$ $Y$ son iguales en un subconjunto denso de $X$ y son continuas también, luego son iguales en todo el espacio métrico $X$?

Answer 1

Este es correcta. Supongamos $f$ $g$ son funciones continuas en un espacio métrico $X$ y de acuerdo en un subconjunto denso $Y$. Para cualquier $x\in X$, tenemos algunos secuencia $(y_n)$ $Y$ tal que $y_n\to x$, lo $f(y_n)\to f(x)$$g(y_n)\to g(x)$. Desde $f(y_n)=g(y_n)$ todos los $n$, esto implica $f(x)=g(x)$.

Answer 2

Sí. El conjunto de puntos donde las funciones $f,g\colon X\to Y$ está de acuerdo está cerrado y contiene un subconjunto denso. El cierre de un subconjunto denso es $X$. (Esto no requiere de métricas espacios, es suficiente con que $X$ es cualquier espacio topológico y $Y$ es Hausdorff)