En el libro de texto dice que cada paquete conjunto es equipotente a un primer número ordinal. Sin embargo, por supuesto malestar-disponible no equipotente a cualquier número ordinal, pero hay está mal-hacer pedidos? Por el axioma de regularidad sabemos que cada conjunto está bien fundada, por lo que podemos concluir que cada conjunto está bien-hacer pedidos? Si no, conjunto que está enferma-disponible?
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user27515
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La declaración de que todos los conjuntos son bien disponible es un conocido equivalente al Axioma de Elección (tal vez incluso la primera, como Zermelo ideó el Axioma de Elección, precisamente, para demostrar esta consecuencia). Debido a que el Axioma de Elección es relativamente consistente con ZF -- como lo demuestran Kurt Gödel -- uno no va a ser capaz de construir un no-bien-hacer pedidos establecer mediante norma de conjunto de la teoría de las operaciones.
Sin embargo, Pablo Cohen demostró que la negación del Axioma de Elección es relativamente consistente con ZF, y así uno puede idear "conjunto de teoría de modelos" en el que no todos los conjuntos están bien disponible.
Usted no puede realmente señalar en un conjunto arbitrario y decir "¡Ajá! He encontrado algo que no puede ser bien ordenado!", porque si sólo asumir ZF es posible que el universo también satisface el axioma de elección.
Realmente señalar un conjunto que no puede ser bien ordenado que usted necesita asumir que existe, pero el problema es que sólo está suponiendo que existe y que realmente no sabemos dónde. En algunos casos, eso es suficiente para producir un contraejemplo para algunas cosas (por ejemplo, el lema de Zorn), pero no es suficiente para identificar donde este conjunto de mentiras.
Es coherente que los números reales no puede ser bien ordenado, y que es coherente que cada conjunto de "habitual" matemático que le importa es bien ordenado, pero el axioma de elección falla en una muy aguda.
Esta es la razón por la que a menudo "anti-elección" axiomas punto donde el axioma de elección no en un lugar de modo explícito. Por ejemplo, el axioma de determinación nos indica que el axioma de elección falla de los números reales. Nos dice que ya sabemos que si los números reales puede ser bien ordenado, entonces hay un conjunto que no puede ser determinada.
Tal vez un caso más sencillo sería "todos los conjuntos de números reales se pueden medir", pero la idea es la misma.
El requisito de que $\in$ está bien fundada no es suficiente para asegurar bien orderability, porque el fundamento que le dice que usted nunca está "muy lejos" de la parte inferior, pero puede ser muy amplia, sin embargo.
Quiero añadir alguna experiencia personal de la mina sobre el tema, que por lo general al hacer el trabajo sin el axioma de la opción que usted desea primer averiguar qué es exactamente lo que están tratando de probar, después imaginé que fuera usted puede localizar su hipótesis mejor. ¿Quieres un conjunto particular de no ser bien ordenado, o simplemente no bien ordenado conjunto que tiene una cierta propiedad, y así sucesivamente.
Pero en última instancia, esto realmente depende de lo que usted está tratando de demostrar.
Michael Greinecker
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El axioma de elección es equivalente a que exista algún bien de la orden en cada serie. El axioma de elección es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos, por lo que es coherente que existe un conjunto que no puede ser bien ordenado. Pero no es demostrable que un conjunto existe, para que esto violaría la consistencia del axioma de elección.
Así que usted no puede construir un conjunto en forma significativa. Pero es consistente (en la ausencia del axioma de elección), por ejemplo, que no hay buen orden en $\mathbb{R}$. Por lo $\mathbb{R}$ podría ser un ejemplo.
