Probabilidad de que un número entero con distribución de Poisson sea par

Question

La probabilidad $P(X=n)$ que se produzca un acontecimiento X $n$ veces en un periodo de tiempo fijo sigue la distribución de Poisson con parámetro $\lambda$ es decir

$$ P(X = n) = e^{-\lambda} \frac{\lambda ^ n}{n!}$$

Tengo que evaluar la probabilidad de que el suceso $X$ tiene lugar un número par de veces. Lo sé:

$$ P(X \text{ is even} ) = e^{-\lambda} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}$$

pero no puedo resolver la serie.

Supongo que tengo que usar el hecho de que $e^\lambda = \sum_{n = 0}^{+\infty} \lambda^n/n!$ pero me quedé atascado.

¿Cómo puedo evaluar $P(X \text{ is even})$ (se agradecen soluciones alternativas).

Answer 1

Pista: $$ e^x + e^{-x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} = 2\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$

Answer 2

Sea $\displaystyle f(\lambda)= \sum_{k\ge0}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}$ .

Entonces $f''(\lambda) = f(\lambda)$ . Resolviendo esta ecuación diferencial y aplicando las condiciones iniciales $f(0)=1$ y $f'(0)=0$ obtenemos $$ f(\lambda) = \frac{e^\lambda+e^{-\lambda}}{2} = \cosh(\lambda). $$

Así que $\Pr(\text{even}) = \dfrac{1+e^{-2\lambda}}{2}$ .