Número de dientes de los engranajes

Question

Estoy construyendo algo con un motor que usa engranajes para reducir/increse movimiento. El motor tiene algunos engranajes, y es un motor paso a paso (da pasos discretos), ahora el número de pasos por revolución no es entero: $4075.77284...$, y necesito agregar engranajes para estar tan cerca como sea posible a 720 pasos, que es: cada paso debe estar tan cerca como sea posible a $0.5º$.

Así que, este es el problema puramente matemático, el número de pasos es dada por:

$$n=64\frac{22\cdot 26\cdot 31\cdot 32}{9\cdot 9\cdot 10\cdot11}$$ .

Voy a usar las dos ruedas en la serie, por lo que el problema es encontrar cuatro números enteros: $a,b,c,d$, tal que:

$$n\frac{ab}{cd}\approx 720$$

También, los cuatro enteros deben estar en el intervalo de $(8,40)$.

La única cosa que podía pensar fuera sólo estaba tratando, y se encontró, mediante la fijación $c=d=20$ y, a continuación, configuración de $a=8,b=9$, que: $$n\frac{ab}{cd}=733.63911111111110585625$$

Esto le da una rotación de $0.4907044820099255577617$ grados por paso, con un error relativo a $0.5$$0.00929552$. Ese error es lo importante, y estar alrededor de una centésima de grado por paso, es suficientemente bueno para mí, pero me gustaría saber si existe alguna analítica y métodos para obtener las mejores soluciones. Lamentablemente, no tengo el conocimiento suficiente acerca de diophantic ecuaciones para ser capaz de hacer esto por mi cuenta.

Como último recurso, me gustaría programa algo para probar todas las combinaciones posibles de $a,b,c,d$ en ese intervalo, que es probablemente lo que voy a hacer, pero si hay una solución más elegante, me encantaría saber de ti.

Gracias a nadie.

ACTUALIZACIÓN: Ok, he programado, y se encontró que la mejor solución es: $a=8,b=31,c=36,d=39$, con un error de $0.0000436963449531591053$. No es una buena solución, me lo esperaba más pequeño de los números, pero... lo suficientemente bueno. Todavía, analíticas y de solución más general sería apreciada.

Answer 1

No creo que este puede garantizar la óptima bajo restricciones, pero en general se puede utilizar la continuación de la fracción de representación para encontrar las mejores aproximaciones racionales para conseguir algo parecido. $$\begin{align} r &= \frac{720}{4075.7724\cdots} = 0.1766536\cdots \\ &= [0;5,1,1,1,18,3,\ldots] = \cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}} \end{align}$$ Esto le da a las aproximaciones $$r\simeq \frac{3}{17}, \quad \frac{56}{317}, \quad \frac{171}{968},\quad \frac{227}{1285}$$ que producen respectivamente $$0.500518\cdots, \quad 0.499992\cdots, \quad 0.500002\cdots, \quad 0.4999997\cdots$$ grados por paso. Lamentablemente, sólo la primera factores en fracciones que se ajusten a sus dientes restricciones.

Desde aquí se puede "buscar" mediante el desarrollo de aproximaciones que están por encima y por debajo de la meta, como en el link @torpe dio en un comentario. $$\frac{3}{17}\oplus\frac{56}{317}=\frac{59}{334} \\ \frac{3}{17}\oplus\frac{59}{334}=\frac{62}{351} =\frac{2\cdot 31}{3^3\cdot 13}\\ \frac{3}{17}\oplus\frac{227}{1285}=\frac{230}{1302}=\frac{5\cdot 23}{3\cdot 7 \cdot 31}$$

El segundo le da a su solución de $(a,b,c,d)=(8,31,36,39)$, pero no veo una manera de descartar encontrar algo mejor que otros de una búsqueda exhaustiva.

El tercero da la cerca de la señorita $(a,b,c,d)=(10,23,31,42)$.