Creo que es muy instructivo para derivar la anterior generación
la función de uso de las especies, a pesar de ser muy simple, como
presenta algunas estándar de trucos en la manipulación de ciclo de índices.
Observar que la especie $\mathcal{Q}$ que representa las particiones con
únicos constituyentes es simplemente
$$\mathcal{Q} = \mathfrak{P}\left(\sum_{k\ge 1} \mathcal{Z}^k\right).$$
Ahora recuerdo la recurrencia por Lovasz para el ciclo de índice $Z(P_n)$ de
el conjunto operador $\mathfrak{P}_{=n}$ $n$ ranuras, que es
$A$Z(P_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (-1)^{l-1} a_l Z(P_{n-l})
\quad\text{donde}\quad
Z(P_0) = 1.$$
Deje $$F_n(z) = Z(P_n)\left(\frac{z}{1-z}\right)$$
en el segundo paréntesis de la derecha representa el ciclo de índice de sustitución
e introducir la generación de la función
$$G(y) = \sum_{n\ge 0} F_n(z) y^n,$$
así que estamos interesados en $G(1).$
La recurrencia de los rendimientos
$$n Z(P_n) = \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} a_l Z(P_{n-l}).$$
Sustituto de $a_l$, se multiplica por $y^{n-1}$ y suma más de $n\ge 1$ a
obtener
$$G'(y) = \sum_{n\ge 1} y^{n-1}
\sum_{i=1}^n (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l} F_{n-l}(z)
\\= \sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l}
\sum_{n\ge l} y^{n-1} F_{n-l}(z).$$
Este es
$$\sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l} y^{l-1}
\sum_{n\ge l} y^{n-l} F_{n-l}(z)
= G(y) \sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l} y^{l-1}.$$
Por lo tanto
$$(\log G(y))' =
\sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l} y^{l-1}.$$
La integración de
tenemos
$$\log G(y) = C +
\sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} \frac{z^l}{1-z^l} \frac{y^l}{l}
= C + \sum_{k\ge 1}
\sum_{l\ge 1} (-1)^{l-1} z^{kl} \frac{y^l}{l}
\\= C - \sum_{k\ge 1} \log \frac{1}{1+yz^k}.$$
La conclusión es que
$$G(y) = e^C \exp\left( - \sum_{k\ge 1} \log \frac{1}{1+yz^k} \right)
= e^C \exp\left( \sum_{k\ge 1} \log(1+yz^k) \right)
\\= e^C \prod_{k\ge 1} (1+yz^k).$$
Ahora$G(0)=1$, y de ahí la constante obedece $e^C=1$, para una respuesta final
de
$$G(y) = \prod_{k\ge 1} (1+yz^k).$$
En particular, la generación de la función de particiones en piezas únicas
es $$G(1) = \prod_{k\ge 1} (1+z^k),$$
precisamente como debe ser.
