Transformación lineal $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que $T^{2}=\lambda T.$

Question

Deje $T$ ser una transformación lineal $T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que $T^{2}=\lambda T$ algunos $\lambda\in\mathbb{R}.$, a Continuación, cuál de las siguientes es verdadera?

$1.\|T(x)\|=|\lambda|\|x\|$ todos los $x\in\mathbb{R}^n.$

$2.$ Si $\|T(x)\|=\|x\|$ para algunos no-cero $x\in\mathbb{R}^{n}$, $\lambda=\pm 1.$

$3.T=\lambda I$ donde $I$ es la identidad de transformación en $\mathbb{R}^{n}.$

$4.$ Si $\|T(x)\|>\|x\|$ para un vector distinto de cero $x\in\mathbb{R}^{n},$ $T$ es singular.

Según yo desde $T^{2}=\lambda T$ tenemos $T$ satisface el polinomio $x^{2}-\lambda x.$, por Lo que las opciones para su polinomio mínimo se $x,x-\lambda,x(x-\lambda).$ $3$rd opción es claramente incorrecta y $4$th opción no está satisfecho si $T=I$ y, por tanto, correcta. Estoy confundido en las dos primeras opciones . Por favor me ayude. Gracias de antemano.

Answer 1

A menos que me equivoco, todas las afirmaciones son erróneas. El primero es malo, ya que implica la $\left|\lambda\right|=1$ si $T$ es distinto de cero, lo cual no es cierto, ya que puede dejar a $T=2\mathrm{Id}$. (Tal vez usted formuló esta declaración erróneamente? Tal vez debería ser $\left\Vert T(x)\right\Vert =\left|\lambda\right|\left\Vert x\right\Vert$ ?).

La segunda declaración es incorrecta: definte $T$$(x,y)\mapsto(\sqrt{2}x,0)$; a continuación,$\left\Vert (1,1)\right\Vert =\sqrt{2}=\left\Vert (\sqrt{2},0)\right\Vert =\left\Vert T((1,1))\right\Vert$, pero en este caso $\lambda=\sqrt{2}$ (debido a $T^{2}=\sqrt{2}T$).

La tercera no es correcta porque se puede tomar $T$$(x,y)\mapsto x$.

La cuarta declaración es incorrecta porque usted puede dejar a $T=2\mathrm{Id}$, que no es singular. Esta es esencialmente la única posibilidad, sin embargo: si asumimos $T$ es invertible, entonces claramente $\lambda\neq0$, por lo que podemos establecer $S=\frac{1}{\lambda}T$, que también es invertible (con inverse $\lambda T^{-1}$). Tenemos $S^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}T^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}\lambda T=\frac{1}{\lambda}T=S$, lo $S=\mathrm{Id}$, es decir,$T=\lambda\mathrm{Id}$.