Pregunta acerca de polinomios con máximos y mínimos.

Question

Determinar (hasta un constante multiplicador) el polinomio con un máximo en $(-1,1)$, con un mínimo de $(1,-1)$ y no hay otros puntos críticos.

La única cosa que puedo pensar es que viene con una ecuación con raíces $1$ $-1$ y, a continuación, la integración, pero no creo que funcione.

Answer 1

Sugerencia : pruebe con su idea : usted sabe que la derivada de su polinomio es $k(x-1)(x+1)=k(x^2-1).$ Integrar esto y conseguir que su polinomio es $k(\frac{1}{3}x^3-x)+c.$, a Continuación, utilizar su información acerca de los valores de su polinomio en $-1$ $1$ encontrar $k$ $c$ y finalmente consigue $P=\frac{1}{2}X^3-\frac{3}{2}X.$

Answer 2

Un polinomio de grado $n=3$, en general, tiene exactamente $2$ puntos extremos de lo que vamos a utilizar un polinomio cúbico $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$a \ne 0$. Obviamente, la derivada de esta función es $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.

Ahora tenemos que encontrar los valores de $(a,b,c,d)$ tal que \begin{align}f(-1) &= 1,&f(1) &= -1, & f'(-1) &= 0, & f'(1) &= 0.\end{align} Desde allí se $4$ variables e $4$ ecuaciones, no hay una única solución.