Cuestión de límites en $\mathbb{R}^{2}$ (Colectores)

Question

Dado un subconjunto $A$$\mathbb{R}^{n}$, un punto de $x \in \mathbb{R}^{n}$ se dice que está en la frontera de a si y sólo si para cada abierto rectángulo $B\subseteq\mathbb{R}^{n}$ con $x\in B$, $B$ contiene tanto un punto de $A$ y un punto de $\mathbb{R}^{n}\setminus A$.

Mi pregunta es a partir de Spivak del Cálculo de los Colectores: La construcción de un conjunto de $A \subseteq [0,1]\times [0,1]$ tal que $A$ contiene más de un punto en cada una de las líneas horizontales y verticales, pero tiene límite igual a $[0,1]\times[0,1]$.

Answer 1

Desde $\mathbb Q^2$ y el conjunto de los números primos son tanto countably infinito, podemos escribir $$\mathbb Q^2 = \{ (x_p,y_p) : p \text{ prime} \}$$ donde $p \mapsto (x_p,y_p)$ es un bijection. Ahora vamos a $$A := \{(x_p + \sqrt{p}/2^p, y_p + \sqrt{p}/2^{p}) : p \text { prime} \} \cap [0,1]^2.$$ Para mostrar que $A$ contiene más de un punto en cada línea horizontal o vertical que es suficiente para mostrar que los mapas $p \mapsto x_p + \sqrt{p}/2^p$ $p \mapsto y_p + \sqrt{p}/2^p$ son inyectiva. Supongamos $x_p + \sqrt{p}/2^p = x_q + \sqrt{q}/2^q$ para los números primos $p$$q$. A continuación, $\sqrt{p}$ $\sqrt{q}$ son linealmente dependientes sobre $\mathbb Q$ que solo es posible si $p = q$.

Desde $A$ contiene más de un punto en cada línea horizontal o vertical ya sabemos que cada conjunto abierto en $[0,1]^2$ contiene algunos puntos fuera de $A$. Por lo tanto, queda por demostrar que $A$ es denso en $[0,1]^2$ (o, equivalentemente, en $(0,1)^2$). Si $(x,y)$ es cualquier punto en $(0,1)^2$ a continuación, desde la $\mathbb Q^2 \cap (0,1)^2$ es denso en $(0,1)^2$, hay una larga $(p_k)$ de los números primos s.t. $(x_{p_k},y_{p_k})$ es una secuencia en $(0,1)^2$ de los enfoques $(x,y)$. Pero luego también se $(x_{p_k} + \sqrt{p_k}/2^{p_k},y_{p_k} + \sqrt{p_k}/2^{p_k}) \to (x,y)$$k \to \infty$. Para un gran $k$ esta es una secuencia en $A$, lo $A$ es denso en $(0,1)^2$.