$f'(x) = f(x-1)$ $f$ es no acotada

Question

Deje $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

A continuación, considere el siguiente demora ecuación : $$f'(x) = f(x-1)$$

Deje $S$ el conjunto de solución de ot de esta ecuación. A continuación, me gustaría probar que :

$\forall f \in S -\{ x \mapsto 0\}$, $f$ no está delimitado.

Lo que he hecho hasta ahora es que :

El conjunto de soluciones es un infinito espacio tridimensional, por lo tanto es difícil obtener una forma general de todas las soluciones, por lo tanto no creo que el cálculo de la ecuación característica es una buena idea.

Me he dado cuenta de que esto es cierto para todas las ecuaciones de la forma : $f'(x) = f(x-a)$ donde $-1 \leq a \leq 1$. Sin embargo, esto no es cierto para $a = 3\pi/2$, debido a $x \mapsto \sin(x)$ es una solución trivial y claramente $x \mapsto \sin(x)$ está acotada.

Tal vez usando el valor de la media es una buena idea, con el fin de obtener una contradicción si suponemos que $f$ está acotada. Pero el problema con este enfoque es que no tengo suficiente información sobre $a$.

También tenemos la fórmula : $$f^{(n)}(x) = f(x-n)$$

Gracias !

Answer 1

UNA IDEA

Si $f$ es una base de la distribución de la solución, tomando la transformada de Fourier, $$ i\xi\hat{f}(\xi)=e^{i \xi}\hat{f}(\xi), $$ por lo $\hat{f}$ debe ser apoyado en $\xi=\pm 1$, y esto sólo es posible si $\pm i=e^{ia}$. (Gracias LutzL para la corrección de la versión anterior de este).

Observe que el único no-cero distribuciones que son compatibles en un punto de la delta de Dirac y sus derivados. Esto corresponde a la $f=\sin$ solución se encuentra por encima de: observe que la transformada de Fourier de $\sin$ es $$ \mathcal F(\pecado)(\xi)=\frac{\pi}{i}(\delta(\xi-1)-\delta(\xi+1)).$$

Por lo tanto, la solución es de este tipo, o no es una base de distribución, y así, en particular, no es un almacén de función.