Unicidad de la solución de una ecuación diferencial $y'=y$

Question

En la escuela, he estado aprendiendo recientemente sobre ecuaciones diferenciales simples. Sabemos que la solución de $y'=y$ es $y=Ae^x$ donde $A$ es una constante. Pero ¿cómo podemos saber que es la sólo ¿Solución? Lo único que se me ocurre es que $y$ es continuamente diferenciable. Ayúdame, por favor.

Answer 1

Sea $z$ sea una solución de $y'=y$ . Considere $z(t)e^{-t}$ . Tenemos $$ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-t})=z'(t)e^{-t}-z(t)e^{-t}=0, $$ por lo tanto $$ z(t)e^{-t}=Const\implies z(t)=Ae^{t}. $$

Answer 2

Supongamos que $y$ es una solución a $y'=y$

Multiplica ambos lados por $e^{-x}$ para obtener $$ y'e^{-x} = ye^{-x}$$

$$y'e^{-x}-ye^{-x}=0$$

$$ \frac {d}{dx} (ye^{-x}) =0$$ $$ye^{-x} =A$$ $$ y=Ae^{x} $$

Answer 3

Ya he oído antes este tipo de preguntas. Una antiderivada dará un área delta definitiva bajo una gráfica de una función entre 2 límites cualesquiera. Dado que sólo hay un área delta, cualquier expresión diferente que la defina sería esencialmente la misma.

El área de un triángulo rectángulo $1/2xy$ o $1/2x^2 \tan \theta$ son iguales con una sustitución trigonométrica. Para la familia de antiderivadas cuya única diferencia es C, donde C no hace ninguna diferencia en el cálculo de la integral definida, a la inversa sólo tienen una derivada.

En resumen, una función que define áreas de diferentes regiones bajo un gráfico es única y, por tanto, esas diferentes áreas están definidas a su vez por una función única bajo la que existen.

Answer 4

Supongamos que existe otra solución $y=f(x)$ . Entonces debemos tener que $y=f(x)-Ae^x$ es una solución. Ahora trabajando esto nos da: $$y'=\frac{\partial }{\partial x}(f(x) - A e^x) = f'(x) - A e^x$$ Tenga en cuenta que debemos tener $y=y'$ así que $f(x)=f'(x)$ Evidentemente, esto sólo es válido para $f(x) = A e^x$ .