Infinita convergente suma de funciones diferenciables siempre diferenciable?

Question

Deje $\{f_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de diferenciable real de las funciones con valores en $\mathbb{R}$.

Supongamos que para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la suma de $N(x) = \sum\limits_{i=0}^\infty f_i(x)$ es convergente. Hay un teorema general que indica que $N(x)$ es también una función derivable?

Answer 1

Sí: si la serie $\sum_{i=0}^\infty f_i'(x)$ converge uniformemente a$g$, $N$ es diferenciable y $N'=g$.

Answer 2

En general, la suma no es diferenciable incluso si $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge uniformemente.

Ejemplo de @zhw. aquí:

Considerar el buen funciones de $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ define como $f_n(x) = \sqrt {x^2+\frac1n}$.

Para cualquier $x\in \mathbb{R}$ hemos

$$0\le f_n(x) - |x| =\sqrt { x^2+\frac1n }-\sqrt {x^2} =\frac{1/n}{ \sqrt {x^2+\frac1n}+\sqrt {x^2} } \le \frac{\frac1n}{\frac1{\sqrt n}} = \frac{1}{\sqrt n} $$

por lo $f_n \xrightarrow{n\to\infty} |\cdot|$ uniformemente en $\mathbb{R}$. Cada secuencia puede ser convertida en una serie así tenemos:

$$f_1 + \sum_{n=1}^{\infty}(f_{n+1}-f_n) \xrightarrow{n\to\infty} |\cdot|$$

sin embargo, el valor absoluto $|\cdot|$ está claro que no es diferenciable en a $0$.