Demostrando que $\sin(z+w) = \sin(w) \cos(z) + \sin(z) \cos(w)$ utilizando exponenciales complejos

Question

Definamos:

$$\sin(z) = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2i}$$ $$\cos(z) = \frac{\exp(iz) + \exp(-iz)}{2}$$

Debemos demostrar que $$\sin(z+w)=\sin(w) \cos(z) + \sin(z)\cos(w), \forall_{z,w \in \mathbb{C}}$$ utilizando únicamente la siguiente declaración: $\exp(z+w) = \exp(w)\exp(z)$ .

Sólo conseguí mostrar eso: $$\sin(z + w) = \frac{\exp(iz)\exp(iw)}{2i} - \frac{\exp(-iz)\exp(-iw)}{2i}.$$
¿Dónde puedo ir desde aquí?

Answer 1

Considere el RHS,

$$\sin z\cos w+\cos z\sin w$$

$$=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}+\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

[Haciendo el cálculo habitual que se salta]

$$=2\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{4i}$$ $$=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}$$ $$=\sin(z+w)$$

Probado.

Answer 2

Es más fácil empezar desde $\sin z\cos w + \cos z\sin w$ pero también puedes continuar directamente con lo que tienes.

Es sencillo comprobar $e^{iz} = \cos z + i\sin z$ directamente de la definición de $\cos$ y $\sin$ . Además, es muy fácil de ver, $\cos$ es par, mientras que $\sin$ es impar.

Así que, por lo que tienes:

\begin {align} \sin (z + w) &= \frac { \exp (iz) \exp (iw)}{2i} - \frac { \exp (-iz) \exp (-iw)}{2i} \\ &= \frac 1{2i}( ( \cos z + i \sin z)( \cos w + i \sin w) - ( \cos z - i \sin z)( \cos w - i \sin w) ) \\ &= \sin z \cos w + \cos z \sin w. \end {align}

Answer 3

Dado que el OP parte del lado izquierdo y pregunta "a dónde puedo ir desde aquí", daré una solución partiendo del lado izquierdo.

\begin {align} & \sin (z+w) \\ &= \frac { \exp (i(z+w)) - \exp (-i(z+w))}{2i} \\ &= \frac { \exp (iz) \exp (iw) - \exp (-iz) \exp (-iw)}{2i} \\ &= \frac { \exp (iz) \exp (iw) \color {Azul}{-} \exp (iz) \exp (-iw) + \exp (iz) \exp (-iw)} - \exp (-iz) \exp (-iw)}{4i} \\ &+ \frac { \exp (iz) \exp (iw) \color {Azul}{-} \exp (-iz) \exp (iw) + \exp (-iz) \exp (iw)} - \exp (-iz) \exp (-iw)}{4i} \\ &= \frac { \exp (iz)( \exp (iw)- \color {Azul}{ \exp (-iw)}) + \exp (-iz)( \color {Azul}{ \exp (iw)}- \exp (-iw))}{4i} \tag {términos 1,2,7,8} \\ &+ \frac { \exp (-iw)( \color {Azul}{ \exp (iz)}- \exp (-iz)) + \exp (iw)( \exp (iz) - \color {Azul}{ \exp (-iz)})}{4i} \tag {términos 3-6} \\ &= \frac {( \exp (iz)+ \exp (-iz))( \exp (iw)- \color {Azul}{ \exp (-iw)})}{2 \cdot 2i} \\ &+ \frac {( \exp (iw)+ \exp (-iw))( \color {Azul}{ \exp (iz)}- \exp (-iz))}{2 \cdot 2i} \\ &= \cos (z) \sin (w) + \cos (w) \sin (z) \end {align}