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Inducida por la representación de la que adjunto es?

Estoy teniendo problemas para entender en qué lado de la inducida por la representación functor es adjunto a la restricción functor.

Por simplicidad estoy asumiendo $H$ es un subgrupo de $G$ (también se podría ver como una de morfismos $H\to G$). Permítanme indicar $\mathbf{Rep}_H$ la categoría de representaciones de $H$ sobre un campo fijo $K$ (de manera similar para $G$), deje $\mathbf{Res}_H^G: \mathbf{Rep}_G \to \mathbf{Rep}_H$ ser la restricción functor.

Una descripción habitual de la inducción de la representación es la siguiente: dado $(\rho,V)$ una representación de $H$, vamos a $\mathbf{Ind}_H^G\rho = \{f: G\to V \mid \forall h\in H, \forall x\in G, f(hx)=h\cdot f(x)\}$$g\cdot f(x) =f(xg)$.

Con esta definición, es fácil demostrar $Hom_G(\pi, \mathbf{Ind}_H^G\rho)\simeq Hom_H(\mathbf{Res}_H^G\pi, \rho)$, lo que hace que $\mathbf{Ind}_H^G$ derecho-adjoint a $\mathbf{Res}_H^G$. Si no me equivoco, la explícita flechas $\lambda\mapsto (v\mapsto \lambda(v)(1))$ y en el sentido inverso $f\mapsto (v\mapsto (g\mapsto f(g\cdot v)))$.

Primero de todo esto es un poco sorprendente como $\mathbf{Res}_H^G$, más de un olvidadizo-tipo functor así que esperamos que el "obvio functor en la otra dirección" a su izquierda adjunto, pero como la prueba va a través de lo que simplemente podemos dejar que esta sorpresa en la cara.

Sin embargo, la Wiki dice lo siguiente : "En el caso de grupos finitos, en realidad son de izquierda y derecha-adjoint el uno al otro" (de un artículo en Frobenius Reciprocidad)

Por otra parte, en el mismo artículo que afirmar que existe un isomorfismo natural $Hom_{K[G]}(K[G]\otimes_{K[H]}V, W) \simeq Hom_{K[H]}(V,W)$ donde la representación es visto simplemente como un $K[G]$(resp. $K[H]$-)módulo (e $K[G]$ $(K[G],K[H])$- bimodule para hacer sentido de que el producto tensor y el $K[G]$-módulo de estructura). Una vez más, este isomorfismo parece fácil de establecer : a) una dirección es $\lambda\mapsto (v\mapsto \lambda(1\otimes v))$ y el otro $f\mapsto (g\otimes v\mapsto g\cdot f(v))$.

Esto parece funcionar para grupos arbitrarios, no sólo finito. Así que yo supongo que la frase en el artículo de la wikipedia significa que $K[G]\otimes_{K[H]}V \simeq \mathbf{Ind}_H^GV$ si $G$ es finito (el "sólo" ser en el sentido de "en general").

Si ese no es el caso, ¿qué significa esta frase significa ? Si es así, es este isomorfismo natural (en $V$ ? y en $(H,G)\in \mathbf{FinGrp}^\to$ ?) ? ¿Cuál es el isomorfismo? Si mi interpretación es correcta, nada puede decirse de la relación entre el $K[G]\otimes_{K[H]}V$ $\mathbf{Ind}_H^GV$ al $G$ es infinito ?

Si mi interpretación no es correcta y el "$K[G]\otimes_{K[H]}V$" de la construcción no trabajo para infinite $G$ (a causa de algún error que cometí), entonces no $\mathbf{Res}_H^G$ tiene un adjunto a la izquierda en general ?

Parece como si se puede aplicar la general adjunto functor teorema a demostrar que no, el único bit no estoy seguro de ser el hecho de que conserva los límites... Pero creo que conserva los productos y ecualizadores por lo que debería ser suficiente, ¿verdad ?

Si esto es correcto, y sigue trabajando bajo la suposición de que mi interpretación no es correcta, puede el mencionado izquierda adjunto ser explicitado? Tiene nada que ver con $\mathbf{Ind}_H^G$ ? con $K[G]\otimes_{K[H]}-$ ?

Cualquier corrección de nada de lo que me dijo, además de las preguntas explícitas, es muy bienvenida, así como una respuesta a las preguntas !

5voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Deje $f : R \to S$ ser un anillo homomorphism, que en este caso especial es un homomorphism de grupo de anillos de $k[H] \to k[G]$ inducida por un homomorphism de grupos. $f$ induce una restricción de escalares functor entre las categorías de la izquierda módulos

$$f^{\ast} : \text{Mod}(S) \to \text{Mod}(R)$$

que tiene tanto una izquierda y una derecha adjunto. La izquierda adjunto se llama extensión de escalares y se ve como

$$f_L : \text{Mod}(R) \ni M \mapsto S \otimes_R M \in \text{Mod}(S)$$

y el derecho adjuntos no tienen un nombre en común, que yo sepa, pero que podríamos llamar coextension de escalares, y parece que

$$f_R : \text{Mod}(R) \ni M \mapsto \text{Hom}_R(S, M) \in \text{Mod}(S).$$

Ahora, me dicen que si $G$ $H$ son grupos finitos, entonces estos functors son naturalmente isomorfos, el significado de la inducción es tanto la izquierda y la derecha adjunto a la restricción en este caso. Pero en general no lo son. Lo que merece ser llamado "inducción" y lo que merece ser llamado "coinduction" es una pregunta que no he resuelto para mi propia satisfacción. La segunda parece generalizar de una manera más limpia para el ambiente en donde las $G$ $H$ son grupos con extra de la estructura, por ejemplo, algebraica de los grupos; si mal no recuerdo, puede ser interpretado como calcular el espacio de secciones de una $G$-equivariant vector paquete en el cociente $G/H$.

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