Estoy teniendo problemas para entender en qué lado de la inducida por la representación functor es adjunto a la restricción functor.
Por simplicidad estoy asumiendo $H$ es un subgrupo de $G$ (también se podría ver como una de morfismos $H\to G$). Permítanme indicar $\mathbf{Rep}_H$ la categoría de representaciones de $H$ sobre un campo fijo $K$ (de manera similar para $G$), deje $\mathbf{Res}_H^G: \mathbf{Rep}_G \to \mathbf{Rep}_H$ ser la restricción functor.
Una descripción habitual de la inducción de la representación es la siguiente: dado $(\rho,V)$ una representación de $H$, vamos a $\mathbf{Ind}_H^G\rho = \{f: G\to V \mid \forall h\in H, \forall x\in G, f(hx)=h\cdot f(x)\}$$g\cdot f(x) =f(xg)$.
Con esta definición, es fácil demostrar $Hom_G(\pi, \mathbf{Ind}_H^G\rho)\simeq Hom_H(\mathbf{Res}_H^G\pi, \rho)$, lo que hace que $\mathbf{Ind}_H^G$ derecho-adjoint a $\mathbf{Res}_H^G$. Si no me equivoco, la explícita flechas $\lambda\mapsto (v\mapsto \lambda(v)(1))$ y en el sentido inverso $f\mapsto (v\mapsto (g\mapsto f(g\cdot v)))$.
Primero de todo esto es un poco sorprendente como $\mathbf{Res}_H^G$, más de un olvidadizo-tipo functor así que esperamos que el "obvio functor en la otra dirección" a su izquierda adjunto, pero como la prueba va a través de lo que simplemente podemos dejar que esta sorpresa en la cara.
Sin embargo, la Wiki dice lo siguiente : "En el caso de grupos finitos, en realidad son de izquierda y derecha-adjoint el uno al otro" (de un artículo en Frobenius Reciprocidad)
Por otra parte, en el mismo artículo que afirmar que existe un isomorfismo natural $Hom_{K[G]}(K[G]\otimes_{K[H]}V, W) \simeq Hom_{K[H]}(V,W)$ donde la representación es visto simplemente como un $K[G]$(resp. $K[H]$-)módulo (e $K[G]$ $(K[G],K[H])$- bimodule para hacer sentido de que el producto tensor y el $K[G]$-módulo de estructura). Una vez más, este isomorfismo parece fácil de establecer : a) una dirección es $\lambda\mapsto (v\mapsto \lambda(1\otimes v))$ y el otro $f\mapsto (g\otimes v\mapsto g\cdot f(v))$.
Esto parece funcionar para grupos arbitrarios, no sólo finito. Así que yo supongo que la frase en el artículo de la wikipedia significa que $K[G]\otimes_{K[H]}V \simeq \mathbf{Ind}_H^GV$ si $G$ es finito (el "sólo" ser en el sentido de "en general").
Si ese no es el caso, ¿qué significa esta frase significa ? Si es así, es este isomorfismo natural (en $V$ ? y en $(H,G)\in \mathbf{FinGrp}^\to$ ?) ? ¿Cuál es el isomorfismo? Si mi interpretación es correcta, nada puede decirse de la relación entre el $K[G]\otimes_{K[H]}V$ $\mathbf{Ind}_H^GV$ al $G$ es infinito ?
Si mi interpretación no es correcta y el "$K[G]\otimes_{K[H]}V$" de la construcción no trabajo para infinite $G$ (a causa de algún error que cometí), entonces no $\mathbf{Res}_H^G$ tiene un adjunto a la izquierda en general ?
Parece como si se puede aplicar la general adjunto functor teorema a demostrar que no, el único bit no estoy seguro de ser el hecho de que conserva los límites... Pero creo que conserva los productos y ecualizadores por lo que debería ser suficiente, ¿verdad ?
Si esto es correcto, y sigue trabajando bajo la suposición de que mi interpretación no es correcta, puede el mencionado izquierda adjunto ser explicitado? Tiene nada que ver con $\mathbf{Ind}_H^G$ ? con $K[G]\otimes_{K[H]}-$ ?
Cualquier corrección de nada de lo que me dijo, además de las preguntas explícitas, es muy bienvenida, así como una respuesta a las preguntas !