¿Hasta dónde puede dos matrices simétricas ser desde el ser no-desplazamientos (en norma)?

Question

En algunos trabajos que he estado haciendo, me he encontrado con un problema que involucra a una familia de matrices simétricas $A_k\in\mathbb R^{n\times n}$$1\le k\le m$. El problema es que se porta muy bien cuando $A_k$ pares de viaje, pero las cosas se vuelven más difíciles si el $A_k$ están muy lejos de los desplazamientos. Lo que me gustaría hacer, entonces, es maximizar $$ \| [A,B]\|_{HS}^2,\quad\hbox{ objeto } \|\|_{HS},\|B\|_{HS}\le1 $$ donde $\|\cdot\|_{HS}$ denota Hilbert-Schmidt norma, $\|A\|_{HS}^2=\sum_{i,j}A_{ij}^2=\operatorname{tr}(A^TA)$.

He encontrado que para cualquier par máximo $(A,B)$, debemos tener $$ \operatorname{tr}ACBB-\operatorname{tr}CBAB=\lambda\operatorname{tr}CA, \quad \operatorname{tr}AACB-\operatorname{tr}ABCA=\eta\operatorname{tr}CB $$ para todos los $C\in\mathbb R^{n\times n}$, e $\lambda,\eta\ge0$ (esto es equivalente a $(A,B)$ es un máximo local). Esto es equivalente a la condición de que $$ ABB-BAB=\lambda A,\quad BAA-ABA=\eta B. $$ Pero esta condición puede ser reducido de nuevo? Realmente estoy más interesado en la búsqueda de la máxima, de encontrar lo que $A,B$ alcanzarla.

Answer 1

Desde $A$ es simétrica, se puede elegir una base que sea diagonal. La reordenación de los si es necesario, se puede hacer la diagonal entradas de $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ $A$ ascendente (es decir,$\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n$).

Deje $B = (b_{ij})$,$( AB - BA)_{ij} = b_{ij}(\lambda_i-\lambda_j)$. Esto lleva a

$$\| [A, B] \|_{HS}^2 = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n b_{ij}^2 (\lambda_i - \lambda_j)^2 \le \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n b_{ij}^2 (\lambda_n - \lambda_1)^2 = \|B\|^2_{HS}(\lambda_n - \lambda_1)^2 \le (\lambda_n - \lambda_1)^2 $$

Desde $\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \cdots \lambda_n^2 = \|A\|^2_{HS} \le 1$, tenemos

$$(\lambda_n - \lambda_1)^2 \le (\lambda_n - \lambda_1)^2 + (\lambda_n + \lambda_1)^2 = 2(\lambda_n^2 + \lambda_1^2) \le 2\tag{*1}$$

A partir de esto, podemos concluir

$$\|[A,B]\|_{HS} \le 2\quad\text{ para simétrica }\;\; A, B,\;\; \text{ cuando }\;\; \ | \|_{HS}, \| B \|_{HS} \le 1\etiqueta{*2}$$

Aviso en $(*1)$, la igualdad se logra cuando la $$\lambda_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \lambda_2 = \cdots = \lambda_{n-1} = 0, \lambda_n = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Con esto como una sugerencia, nos encontramos con

$$A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 &-1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \quad\text{ y }\quad B = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} $$ es un ejemplo donde el límite superior $2$ $(*2)$ se consigue.