(No) Convergencia de $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n - 1} \exp\left(2i \pi [\frac{3 + \sqrt{5}}{2}]^k\right)$ cuando $n \to +\infty$

Question

Que sea $$\forall n > 0, S_n = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n - 1} \exp(2i\pi u_k),\quad \forall k \geq 0, u_k = \left(\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^k$$

Me gustaría probar o refutar la convergencia de $S_n$ como $n \to +\infty$ .

Lo que he probado:

• En primer lugar, traté de expresar $u_k$ como $(\phi^{2k})_k$ con $\phi$ la proporción áurea y el uso $\phi^2 = 1 + \phi$ en el exponencial, pero sin éxito.
• En segundo lugar, intenté establecer límites inferiores/superiores de $S_n$ o estudiar $S_{2n}, S_{2n + 1}$ sin éxito.
• Creo que podría hacer uso de la irracionalidad de $\phi$ pero preferiría evitar una prueba basada en la equipartición (ya que esto es lo que estoy probando al final).
• Además, este problema es si $(\exp(2i\pi u_k))_k$ es Cesaro-sumable.

Answer 1

Dejemos que $v_k = \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^k$ y $w_k = u_k + v_k$ . La secuencia $w_k$ satisfacen la relación de recurrencia: $$w_{k+2} = 3w_{k+1} - w_k$$ Junto con $w_0 = 2, w_1 = 3$ se puede concluir que $w_k$ es una secuencia de números enteros. Esto nos lleva a

$$\exp(2\pi u_k i) = \exp(2\pi( w_k - v_k )i ) = \exp(-2\pi v_k i)$$ Desde $\left|\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right| < 1$ tenemos $$\lim_{k\to\infty} v_k = 0 \quad\implies\quad \lim_{k\to\infty} \exp(-2\pi v_k i) = 1\quad\implies\quad \lim_{n\to\infty} S_n = 1$$