¿Se trata de un $R$ -estructura de módulo en $S$ inducen un homomorfismo de anillo $f:R\to S$ ?

Question

Dejemos que $R$ y $S$ sea conmutativo anillos unitales. Si hay un homomorfismo de anillo $f:R\to S$ entonces $S$ tiene un $R$ -estructura de módulo con acción $r\cdot s=f(r)s$ . Ahora supongamos que sé que $S$ es un $R$ -módulo. Sea $f:R\to S$ se define por $f(r)=r\cdot 1_S$ . Es $f(r)$ ¿un homomorfismo de anillo?

¿Qué podría salir mal? Bueno, por definición $$f(1_R)=1_R\cdot 1_S=1_S,$$ $$f(a-b)=(a-b)\cdot 1_S=a\cdot 1_S-b\cdot 1_S=f(a)-f(b),$$ y $$f(0_R)=f(0_R+0_R)=(0_R+0_R)\cdot 1_S=0_R\cdot 1_S+0_R\cdot 1_S=f(0_R)+f(0_R)$$ así que $f(0_R)=0_S$ . Así que lo que puede ir mal es si $$f(a)f(b)=(a\cdot 1_S)f(b)\overset{!}{\neq} a\cdot(1_S f(b))=a\cdot f(b)=a\cdot(b\cdot 1_S)=(ab)\cdot 1_S=f(ab)$$

Así que todo se reduce a si $(a\cdot 1_S)y=a\cdot(1_S y)$ con $a\in R$ , $y\in f(R)$ .

¿Cuál es un ejemplo en el que $S$ y $R$ son anillos unitales conmutativos, $S$ es un $R$ -módulo, pero $f$ anterior no es un homomorfismo de anillo?

Answer 1

La condición que necesitas es precisamente que $S$ es un $R$ -(y no sólo un $R$ -), lo que significa que la multiplicación en $S$ es $R$ -bilineal.

La multiplicación de $S$ no tiene a priori nada que ver con la estructura del módulo.

Por ejemplo, tome $S = R = \mathbb Z[X]$ como conjuntos. Dar $R$ la estructura de anillo estándar. Dar $S$ la adición estándar y dejar que el $R$ -La estructura del módulo es la multiplicación estándar.

Para la multiplicación en $S$ podemos hacer una locura, retirar la multiplicación estándar en $\mathbb Z[X]$ por un automorfismo de grupo no trivial $\phi$ de $(\mathbb Z[X], +)$ por ejemplo, intercambiando el coeficiente constante con el grado $1$ coeficiente. Es decir, definir $a*b = \phi^{-1}(\phi(a) \phi(b))$ .

Entonces $(S, +, *)$ es un anillo (isomorfo a $\mathbb Z[X]$ a través de $\phi$ ). La adición no ha cambiado por lo que sigue siendo un $R$ -módulo. Pero ya no tenemos $r (s*t) = (rs)*t$ para $r \in R, s,t \in S$ ¡! Sí, es cierto: $$X(X*X^2) = X^3 \neq X^4 = (XX)*X^2$$ ( $X$ es la unidad de $S$ )