Si $A$ y $B$ son subconjuntos abiertos limitados y simplemente conectados de $\mathbb{R}^2$ entonces un componente conectado $C$ de $A\cap B$ ¿está simplemente conectado?

Question

Si $A$ y $B$ son subconjuntos abiertos limitados y simplemente conectados de $\mathbb{R}^2$ y si $ A \cap B \neq \emptyset$ entonces un componente conectado $C$ de $A\cap B$ ¿está simplemente conectado?

Creo que debe ser cierto intuitivamente, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Supongamos por contradicción que existe una componente conectada $C \subset A \cap B$ con $\pi_{1}(C) \neq \{id\}$ .

No es difícil ver que hay una simple curva cerrada $c$ que representa un elemento no trivial $ [c] \in \pi_{1}(C)$ (utilizando el hecho de que está abierto si es necesario). Por el teorema de la curva de Jordan, $\mathbb{R}^{2} \setminus c$ tiene dos componentes conectadas, una acotada digamos $U_{1}$ y uno no limitado digamos $U_{2}$ .

Ahora, al menos uno de $A,B$ no contiene $U_{1}$ completamente, ya que si lo hicieran entonces claramente $c$ sería contraíble dentro de $C \subset A \cap B$ .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que existe $p \in U_{1} \setminus A$ entonces claramente $id \neq [c] \in \pi_{1}(A)$ lo que contradice el hecho de que $A$ está simplemente conectado.