Elementwise máximo de dos positiva definida matrices

Question

Suponga que $A$ $B$ son reales, simétrica positiva definida matrices del mismo tamaño, es decir,

$$A \succ 0, B\succ 0.$$

Deje $\operatorname{elmax(A,B)}$ a ser el elemento sabio máximo de la matriz, que consiste en escalar maxima de elementos de $A$$B$.

Es siempre el caso de que

$$\operatorname{elmax}(A,B)\succ 0?$$

Es decir, el elemento de la sabia máxima de operación de preservar la certeza positiva?

Answer 1

No. Un conterexample: tomar un pequeño $\epsilon>0$ y definir $$ A=\begin{bmatrix}1 & 1-\epsilon & 0\\1-\epsilon & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1-\epsilon\\0 & 1-\epsilon & 1\end{bmatrix}. $$ Ambas matrices son positiva definida, pero el elemento sabio máximo $$ C=\begin{bmatrix}1 & 1-\epsilon & 0\\1-\epsilon & 1 & 1-\epsilon\\0 & 1-\epsilon & 1\end{bmatrix} $$ tiene un negativo determinante (para pequeñas $\epsilon>0$).

Answer 2

He escrito casi la misma respuesta A. Γ. así que aquí está un ejemplo concreto en lugar

A
array([[22.,  9.,  7.,  6.],
       [ 9., 14.,  5.,  8.],
       [ 7.,  5., 12., 11.],
       [ 6.,  8., 11., 14.]])

B
array([[20.,  2., 12.,  2.],
       [ 2., 20.,  2.,  5.],
       [12.,  2., 12.,  4.],
       [ 2.,  5.,  4., 12.]])

C
array([[22.,  9., 12.,  6.],
       [ 9., 20.,  5.,  8.],
       [12.,  5., 12., 11.],
       [ 6.,  8., 11., 14.]])

con autovalores

eigA = [ 1.30323419,  7.88111427, 13.88897809, 38.92667345]
eigB = [ 2.81884072,  9.73820335, 20.42843182, 31.01452411]
eigC = [-0.11100762, 11.43648115, 13.68814039, 42.98638609]