Es posible acortar la solución para este 2014 RMO pregunta?

Question

Yo era de la resolución de una pregunta de la Regional Olimpiada de Matemáticas (RMO) 2014.

Encontrar todos los números reales positivos $x,y,z$ tal que

$$2x-2y+\frac1z=\frac1{2014},\quad2y-2z+\frac1x=\frac1{2014},\quad2z-2x+\frac1y=\frac1{2014}$$

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Aquí está mi solución:

Estas expresiones son cíclicos. Por lo tanto, todos los conjuntos de soluciones debe ser desordenada. Esto implica que $x=y=z$.

Por lo tanto, $x=2014$ y la solución es

$$x=2014\quad y=2014\quad z=2014$$

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Aquí está la solución oficial:

Sumando las tres ecuaciones, obtenemos $$\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac3{2014}$$

También podemos escribir como $$2xz-2yz+1=\frac z{2014},\quad2xy-2xz+1=\frac x{2014},\quad2yz-2xy+1=\frac y{2014}$$

La adición de estos, obtenemos $$x+y+z=3\times2014$$

Por lo tanto, $$\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)(x+y+z)=9$$

El uso de $\text{AM-GM}$ la desigualdad, por lo tanto, obtener un $$9=\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)(x+y+z)\ge9\times(xyz)^{\frac13}\left({1\over xyz}\right)^{\frac13}=9$$

Por tanto, sostiene la igualdad y llegamos a la conclusión de que $x=y=z$.

Por lo tanto llegamos a la conclusión de $$x=2014\quad y=2014\quad z=2014$$

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Lo que me pregunto es si hay algo mal con mi enfoque. Si sí, ¿qué es? Si no, entonces ¿por qué es la solución oficial de tan largo aliento?

Answer 1

Considere el sistema de ecuaciones

$xy + z = 1, \quad yz + x = 1, \quad zx + y = 1$

Estas ecuaciones están relacionados por permutaciones cíclicas de $(x,y,z)$, pero son satisfechos por $(1,1,0)$ (y sus permutaciones cíclicas) cuando $x$, $y$ y $z$ no son todos iguales.

También hay soluciones donde $x=y=z=\frac{\pm \sqrt{5}-1}{2}$, pero estos no son la única solución.

Answer 2

Como Mohammad Riazi-Kermani y gandalf61 mostrar, se puede llegar a la conclusión $x=y=z$ simplemente de la cíclico de la invariancia del sistema de ecuaciones. Sin embargo, en este caso, usted puede hacer un simple argumento de que se inicia con una observación basada en la cíclico de la invariancia, es decir, que puede muy bien suponer $x\ge y,z$ (es decir, el ciclo a través de $(x,y,z)$, $(y,z,x)$ y $(z,x,y)$ y escoger el que se inicia con el mayor de los tres números).

Si $x\ge y,z$, $2x-2y\ge0$ mientras $2z-2x\le0$, por lo que

$${1\over2014}=2x-2y+{1\over z}\ge{1\over z}\implies z\ge2014$$

y

$${1\over2014}=2z-2x+{1\over y}\le{1\over y}\implies 2014\ge y$$

así que ahora tenemos $x\ge z\ge 2014\ge y$. Pero ahora nos dice $2y-2z\le0$, por lo que

$${1\over2014}=2y-2z+{1\over x}\le{1\over x}\implies2014\ge x$$

así que ahora tenemos $2014\ge x\ge z\ge 2014\ge y$, desde el que se ve $x=z=2014\ge y$. La última igualdad, $2014=y$, viene por sustituting $x=z=2014$ en cualquiera de las tres ecuaciones.

Nota, la implicación ${1\over2014}\ge{1\over z}\implies z\ge2014$ requiere la suposición de $z\gt0$.

Answer 3

Las ecuaciones de ser cíclico, no necesariamente significa que las variables son iguales.

Por ejemplo $$ x+y+z=6\\x^2+y^2+z^2=14\\x^3+y^3+z^3=36$$ Solutions are not equal. $$x=1, y=2,z=3$$ es una de las soluciones de conjunto.

Answer 4

El general cíclica del sistema es $$ f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=0$$ con alguna función $f$. No hay la menor razón para suponer que $f(42,\pi,e)\ne 0$.

Answer 5

En primer lugar, el uso de la palabra "cíclica" no es del todo coherente con su significado usual.

En segundo lugar, un contraejemplo:
xy+z=0
yz+x = 0
zx+y = 0

(1,1,-1) satisface estas ecuaciones.