$f(x) = \int_0^x\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4+1}}dt$ es derivado y la tangente cuando x = 0

Question

Tengo esta función:

$$f(x) = \int_0^x\frac{1-t^2}{\sqrt{t^4+1}}dt$$

Tengo que encontrar es derivado $f'(x)$ y tengo que encontrar la ecuación de la tangente en el punto de $x = 0$. Estoy un poco confundido acerca de esto.

Creo que es derivada es: $$\frac{1-x^2}{\sqrt{x^4+1}}$$

Es ese derecho?

He tratado de encontrar la tangente, donde $x = 0$.

He encontrado $k_t = 1$, $x_0 = 0$, $y_0 = f(0)$ y se inserta en la ecuación:

$$y - y_0 = k_t(x - x_0)$$ $$y = x - f(0)$$

¿Hice bien o hice totalmente por alto el punto?

Answer 1

Su solución es correcta. Es un error común para "overthink" el cálculo de $f'$. Una cosa que la izquierda es la evaluación de la $f(0)$. ¿Qué es?

Answer 2

no creo que usted necesita tomar la derivada. observar que $$(1-t^2)((1+t^4)^{-1/2}= (1-t^2)(1-\frac{1}{2}t^4+\cdots)=1+\cdots$$ así tenemos $$f(x)= \int_0^x (1-t^2)((1+t^4)^{-1/2}\, dt = \int_0^x (1 + \cdots) \, dt = x + \cdots$$

por lo tanto, la recta tangente a $y = f(x)$ $x = 0$ es la aproximación lineal $y = x.$