Propiedades y las identidades de $\text{ord}_{p}(n)$

Question

$\mathrm{ord}_{p}(a+b)\ge\mathrm{min}(\mathrm{ord}_{p}a,\mathrm{ord}_{p}b)$ con la igualdad de la celebración de si $\mathrm{ord}_{p}a\ne \mathrm{ord}_{p}b$. es la instrucción que se le solicite a esta pregunta.

Fue encontrado en Irlanda & Rosen Elementos de la Teoría de los números (precurser a su libro Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números) es el libro que estoy trabajando a través de y se le pide su prueba.

Después de algunas investigaciones que estoy aprendido que esta función es totalmente aditivo($\mathrm{ord}_{p}(ab)=\mathrm{ord}_{p}(a)+\mathrm{ord}_{p}(b)$) que entre otras cosas y logró obtener la siguiente ecuación que, si no me equivoco, resuelve la primera parte de la pregunta:

$\mathrm{ord}_{p}(a+b)=\mathrm{ord}_{p}(dm+dn)=\mathrm{ord}_{p}(d)+\mathrm{ord}_{p}(m+n)\ge \mathrm{ord}_{p}(d)=\mathrm{ord}_{p}(a,b)=\mathrm{min}(\mathrm{ord}_{p}a,\mathrm{ord}_{p}b)$

Donde $(a,b)$=$\mathrm{gcd}(a,b)$ es el ideal/mayor factor común y es igual a $d$, y $a=dm$, $b=dn$ donde $m$,$n$ son relativamente primos.

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Así que mi pregunta es ¿dónde puedo aprender más acerca de las propiedades y de las identidades de las funciones $\mathrm{ord}_{p}(n)$ $\mathrm{v}(n)$ (este último parece ser el llamado de valoración o en relación con dicho), especialmente un recurso que incluyen relaciones similares a los anteriores. Si el recurso se incluye identidades para el mcm, mcd, y min/max de las funciones en relación a la función ord y por themeslves también, eso sería maravilloso.

También lo son algunas de las identidades que podría resolver la "con la igualdad de la celebración de si $\mathrm{ord}_{p}a\ne \mathrm{ord}_{p}b$." parte, y cómo se obtienen? Editar(Esta parte ha sido contestada, buscando algunos buenos recursos que exponer en ord,v, y funciones relacionadas.)

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que lo que usted necesita saber es que, dado cualquier entero distinto de cero $a$ y cualquier prime $p$ $$a=p^rm$$ for some non-negative integer $r$ and some integer $m$ with $\gcd(m,p)=1$, and that $r$ and $m$ are unique. This falls out of the Unique Factorization Theorem. Then $$ord_p(a)=r$$ You should be able to use this to prove the results you want on $ord_p(a+b)$.

Answer 2

Usted puede empujar su método de prueba para obtener la igualdad de resultados.

Supongamos que $ord_p(a) \neq ord_p(b)$. Entonces uno de $m$ o $n$ es divisible por $p$, pero el otro no. (Comprobar la utilización de las definiciones!) Por lo tanto $m +n$ es no divisible por $p$, lo $ord_p(m+n) = 0$. Esto le da lo que quiere.

Answer 3

Gerry respuesta es genial, aunque no puedo dejar de agregar que se trata de una profunda y hermosa idea que se generaliza y es extremadamente útil en situaciones geométricas (geometría algebraica y álgebra conmutativa). Ver aquí, por ejemplo.