CLT tipo de convergencia con Lyapunov condición violado

Question

Para $i=1,2,\dots$ deje $X_i$ ser una variable aleatoria, independiente de todas las $X_j$$i\neq j$, tomando los valores de $\pm 1$ con una probabilidad de $\frac{1}{2i^2}$ cada uno y el valor de $0$ con una probabilidad de $\frac{i^2 -1}{i^2}$. Entonces la varianza de $X_i$$\sigma_i^2 = \frac{1}{i^2}$. Deje $s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2$.

Estoy tratando de entender la convergencia de la secuencia $$ Y_n = \frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^n X_i $$

Pregunta: ¿que convergen en la distribución y ¿cuál es el límite?

La primera cosa que viene a la mente es el teorema del límite central. Podemos probar la Lyapunov condición de que (en este caso) le pregunta si por cualquier $\delta>0$ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^{2+\delta}} \sum_{i=1}^n \mathbb{E} (|X_i|^{2+\delta}) = 0 $$ Desde $|X_i| = |X_i|^{2+\delta}$ encontramos que la suma es igual a $s_n^2$ y desde $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}$ converge como $n\to \infty$, el límite es cero y la de Lyapunov condición de no ceder el teorema del límite central.

Answer 1

Desde $s_n^2$ converge a $\sum_{i=1}^{+\infty}i^{-2}=\pi^2/6$, es suficiente para determinar el límite de $S_n:=\sum_{i=1}^nX_i$. El uso de pares de dependencia y centrado, obtenemos que para todos los $m\gt n$, $$\mathbb E\left\lvert S_m-S_n\right\rvert^2=\mathbb E\left\lvert\sum_{i=n+1}^mX_i\right\rvert^2=\sum_{i=n+1}^m\mathbb E\left\lvert X_i\right\rvert^2=\sum_{i=n+1}^m\frac 1{i^2}\leqslant \frac 1n$$ por lo tanto $\left(S_n\right)_{n\geqslant 1}$ es de Cauchy en $\mathbb L^2$ y converge en $\mathbb L^2$ algunos $S$.

Si asumimos que el $X_n$ es independiente de $(X_1,\dots,X_{n-1})$ todos los $n$, entonces podemos calcular la función característica de a $S_n$ por lo tanto la de $S$, es decir, $$ \varphi_S(t)=\prod_{j=1}^{+\infty}\left(1-\frac 2{j^2}\sin^2\left(\frac t2\right)\right)\quad t\in\mathbb R. $$ No sé si puede ser simplificado.