anon dio una buena referencia. Basta leer!
Deje $V$ ser un complejo espacio vectorial de dim $n$ $\mathcal{B}$ ser un
base. Un completo bandera $V\in\mathcal{F}$ $\mathbb{C}^n$ es:
$\{0\}=V_0\subset V_1\subset\cdots V_n=\mathbb{C}^n$ donde
$dim(V_i)=i$. Tenga en cuenta que $GL_n$ actos de $\mathcal{F}$ de una manera natural.
Si $V_S$ es el estándar indicador asociado a$\mathcal{B}$, $f\in
Gl_n$ satisfies $f(V_S)=V_S$ iff $f\en T_n$ (el triangular superior
invertible matrices); por otra parte si $V,W\in \mathcal{F}$, entonces no es
$f\in GL_n$ s.t. $f(V)=W$. Por lo tanto la variedad $\mathcal{F}$ es la
espacio homogéneo $GL_n/T_n$ de la dimensión de $n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$ más de
$\mathbb{C}$ $n^2-n$ $\mathbb{R}$ ; que es el mismo conjunto de
su espacio de $SL_n/B_n$. Podemos ver también a $V_{i+1}$ $V_i\bigoplus
u_{i+1}$ where $u_{i+1}$ is a unitary vector orthogonal to $V_i$. Nota
que $u_i$ está definido hasta un mult. con un elemento de $S^1(\mathbb{R})$. A continuación, el
estándar indicador asociado a la base ortonormales $\mathcal{B}$ $U(n)$ y su
el estabilizador es el conjunto de la diagonal de las matrices en $(S^1)^n=\tau_n$, $n$- toro.
Finalmente, nuestro conjunto es compacto, el verdadero espacio homogéneo $U(n)/\tau_n$; encontramos de nuevo que su dimensión es$n^2-n$$\mathbb{R}$.
Al $n=2$, obtenemos $P^1(\mathbb{C})$ que es homeomórficos a $S^2(\mathbb{R})$.
Al $n=3$, obtenemos $\{(u,v)\in P^2(\mathbb{C})\times P^2(\mathbb{C})|u\perp v\}$ que tiene dimensión $4+4-2=6$$\mathbb{R}$.
EDIT. En otras palabras, cuando se $n=3$, un completo bandera $F$ está dado por $V_1,V_2$ o por una base ortonormales $(u_1,u_3,u_3)$ $\mathbb{C}^3$ s.t. $u_1\in V_1,u_2\in V_2$. A continuación, un representante de $F$$A=[u_1,u_2,u_3]\in U(3)$. Si $B$ es otro representante de $F$,$B=Adiag(e^{i\theta_1},e^{i\theta_2},e^{i\theta_3})$.
