Cálculo de $\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}$?

Question

La solución de $\frac{a_{20}}{a_{20}+b_{20}}$ $-39$ (Esto es escrito por hoja de respuestas) de la recursivo sistema de ecuaciones :

\begin{cases} a_{n+1}=-2a_n-4b_n \\ b_{n+1}=4a_n+6b_n\\ a_0=1,b_0=0 \end{casos}

Esto es tomado de $2007$ PUERTA de los exámenes de ingreso en la India.

alguien me puede mostrar cómo podemos calcular esta respuesta?

Actualización 1:

Tres respuestas se agrega, pero mi principal problema es que sigue siendo hasta sin embargo, ninguno de estos tres respuestas no incluyen el aspecto principal de esta pregunta. mi problema principal es a través de la simplificación y sustitución en la última parte de la solución.

Answer 1

$4b_n=-a_{n+1}-2a_n$, $4b_{n+1}=-a_{n+2}-2a_{n+1}$, $-a_{n+2}-2a_{n+1}=16a_n-6a_{n+1}-12a_n$, $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$. ¿Sabes cómo resolver ese tipo de recurrencia?

He aquí un enfoque. $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=(a_{n+2}-2a_{n+1})-2(a_{n+1}-2a_n)=c_{n+1}-2c_n$, donde estamos definiendo $c_n$$c_n=a_{n+1}-2a_n$. Ahora tenemos que solucionar $c_{n+1}-2c_n=0$, y la solución es, obviamente, $c_n=c_02^n$ (y podemos averiguar $c_0$, más que suficiente). Así que ahora tenemos que solucionar $a_{n+1}-2a_n=c_02^n$. Estamos en una recurrencia puede resolver?

Answer 2

$$a_{n+1}=-2a_n-4b_n \tag1$$ $$b_{n+1}=4a_n+6b_n \tag2$$ $$a_0=1,b_0=1 \tag3$$

$$(1) + (2) \implies a_{n+1}+b_{n+1}=2a_n+2b_n=2(a_n+b_n) $$ $$\implies \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_n+b_n}=2$$

De forma similar, tenemos $$\frac{a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n-1}}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{a_{n-2}+b_{n-2}}=\ldots=\frac{a_1+b_1}{a_0+b_0}=2$$

Por lo tanto, podemos escribir que $$\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_n+b_n}\cdot\frac{a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{a_{n-2}+b_{n-2}} \ldots \frac{a_1+b_1}{a_0+b_0}=2\cdot2\cdot2\ldots2$$ $$\implies \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_0+b_0}=2^{n+1}$$ $$\implies \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{1+1}=2^{n+1}$$ $$\implies a_{n+1}+b_{n+1}=2^{n+2}$$

Por eso, $$a_{20}+b_{20}=2^{21}$$

Ahora, usted puede encontrar $a_n$ a partir de la relación $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$ utilizando el poder de la serie de método. Y con la anterior relación, se puede deducir $b_n$.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Sugerencia :

mostrar que

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+b_{n+1}}=-2+\frac{a_{n}}{a_{n}+b_{n}}$$