Dejemos que $x_1,\dots,x_N$ sean puntos de $\mathbb{R}^n$ . Defina el siguiente conjunto: $\mathcal{A} = \left\{\sum_{j=1}^N a_j x_j : -1 \le a_j \le 1, \, \, \forall j=1,...,N\right\}$ . Es un ejercicio fácil ver que $\mathcal{A}$ es un conjunto convexo. ¿Tiene este conjunto algún nombre específico en la línea de casco convexo/afín/lineal?
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chaiwalla
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$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\setA}{\mathcal{A}}$ Si los puntos $(x_{j})_{j=1}^{N}$ son linealmente independientes como vectores en $\Reals^{n}$ el conjunto $\setA$ es el paralleliped [1] centrado en el origen, con un vértice en $-\sum_{j} x_{j}$ y bordes $(2x_{j})_{j=1}^{N}$ .[2]
Si los puntos son linealmente dependientes, $\setA$ es una proyección de un paralelípedo[3].
En cualquier caso, $\setA$ es la imagen del cubo $[-1, 1]^{N}$ bajo la transformación lineal $T:\Reals^{N} \to \Reals^{n}$ cuya matriz estándar tiene $x_{j}$ como $j$ columna.
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Según la Wikipedia, Coxeter llamó a ese conjunto paralelotopo . Creo recordar haber oído el término "paralelípedo" utilizado genéricamente, como en "un dominio fundamental para una variedad abeliana es un paralelípedo en $\mathbf{C}^{n}$ ".
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Si $p_{0} \in \Reals^{n}$ y $(x_{j})_{j=1}^{N}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes, el paralleliped se define como el conjunto de combinaciones lineales $p_{0} + \sum_{j} t_{j} x_{j}$ para lo cual $0 \leq t_{j} \leq 1$ para todos $j$ .
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Nunca he encontrado un nombre especial para tales conjuntos, pero no trabajo en geometría convexa.
(Wikificando esta respuesta ya que (i) en parte esta respuesta incorpora comentarios hechos por el usuario208259 y p.s., y (ii) la terminología puede diferir entre varias ramas de la geometría, y los geómetras convexos que pasen por aquí en el futuro deberían sentirse libres de hacer ediciones).
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No estoy seguro de que haya un nombre en particular, pero esto describe un Suma de Minkowski sobre algunos segmentos de línea (que tienen el origen como punto medio, pero cualquier suma de segmentos de línea sería igual, hasta la traslación, a esto)
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Es la imagen bajo un mapeo lineal del hipercubo $[-1,1]^N$ . En consecuencia, es el casco convexo de la $2^N$ puntos de la forma $\sum \varepsilon_i x_i$ , donde $\varepsilon_i \in \{-1,1\}$ .
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@user208259: Eso suena interesante...
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El casco convexo de los puntos $z_1, \dots, z_p$ es el conjunto de puntos de la forma $\sum c_i z_i$ donde $\sum c_i = 1$ y $c_i \geq 0$ . La imagen de este conjunto bajo un mapeo lineal $f$ es precisamente el casco convexo de los puntos $f(z_i)$ .
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@user208259 tiene la mejor respuesta. No creo que haya nada mejor.
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Cuando $n \ge N$ es un N-dimensional paralelotopo . Cuando $n < N$ es la proyección de un paralelótopo.